Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32509 / 23837
↖ ↑ ↗
← N 43.973051°
W  1.422729°		 ← 439.56 m → N 43.973051°
W  1.417236°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
N 43.969098°
W  1.422729°		 ← 439.59 m →
193 238 m²		 N 43.969098°
W  1.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496055603027344 y=0.363731384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496055603027344 × 216)
    floor (0.496055603027344 × 65536)
    floor (32509.5)     		tx = 32509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363731384277344 × 216)
    floor (0.363731384277344 × 65536)
    floor (23837.5)     		ty = 23837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32509 / 23837 ti = "16/32509/23837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32509/23837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32509 ÷ 216
    32509 ÷ 65536     		x = 0.496047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23837 ÷ 216
    23837 ÷ 65536     		y = 0.363723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496047973632812 × 2 - 1) × π
    -0.007904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02483131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363723754882812 × 2 - 1) × π
    0.272552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.856248901013443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02483131} λ = -0.02483131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856248901013443))-π/2
    2×atan(2.35431284896792)-π/2
    2×1.16913542933024-π/2
    2.33827085866048-1.57079632675     		φ = 0.76747453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02483131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.422729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76747453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.973051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32509 KachelY 23837 -0.02483131 0.76747453 -1.422729 43.973051
    Oben rechts KachelX + 1 32510 KachelY 23837 -0.02473544 0.76747453 -1.417236 43.973051
    Unten links KachelX 32509 KachelY + 1 23838 -0.02483131 0.76740553 -1.422729 43.969098
    Unten rechts KachelX + 1 32510 KachelY + 1 23838 -0.02473544 0.76740553 -1.417236 43.969098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76747453-0.76740553) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76747453-0.76740553) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02483131--0.02473544) × cos(0.76747453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		do = 439.56346429947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02483131--0.02473544) × cos(0.76740553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719714353351712 × 6371000     		du = 439.592724920675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76747453)-sin(0.76740553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719666446987764-0.719714353351712)×R²
    abs(-0.02473544--0.02483131)×4.79063639478028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×40589641000000     		ar = 193238.090889106m²