Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32506 / 23818
↖ ↑ ↗
← N 44.048116°
W  1.439209°		 ← 439.05 m → N 44.048116°
W  1.433716°		 →
↑
439.03 m
↓
↑
439.03 m
↓
N 44.044168°
W  1.439209°		 ← 439.08 m →
192 762 m²		 N 44.044168°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496009826660156 y=0.363441467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496009826660156 × 216)
    floor (0.496009826660156 × 65536)
    floor (32506.5)     		tx = 32506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363441467285156 × 216)
    floor (0.363441467285156 × 65536)
    floor (23818.5)     		ty = 23818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32506 / 23818 ti = "16/32506/23818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32506/23818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32506 ÷ 216
    32506 ÷ 65536     		x = 0.496002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23818 ÷ 216
    23818 ÷ 65536     		y = 0.363433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363433837890625 × 2 - 1) × π
    0.27313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858070503199005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02511894} λ = -0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858070503199005))-π/2
    2×atan(2.35860537885304)-π/2
    2×1.16979048778982-π/2
    2.33958097557965-1.57079632675     		φ = 0.76878465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76878465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.048116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32506 KachelY 23818 -0.02511894 0.76878465 -1.439209 44.048116
    Oben rechts KachelX + 1 32507 KachelY 23818 -0.02502306 0.76878465 -1.433716 44.048116
    Unten links KachelX 32506 KachelY + 1 23819 -0.02511894 0.76871574 -1.439209 44.044168
    Unten rechts KachelX + 1 32507 KachelY + 1 23819 -0.02502306 0.76871574 -1.433716 44.044168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76878465-0.76871574) × R
    6.89099999999776e-05 × 6371000     		dl = 439.025609999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76878465-0.76871574) × R
    6.89099999999776e-05 × 6371000     		dr = 439.025609999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(0.76878465) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.71875618716082 × 6371000     		do = 439.053280686342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(0.76871574) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718804095973272 × 6371000     		du = 439.082545855333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76878465)-sin(0.76871574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71875618716082-0.718804095973272)×R²
    abs(-0.02502306--0.02511894)×4.79088124516469e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79088124516469e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79088124516469e-05×40589641000000     		ar = 192762.058531314m²