Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32506 / 23807
↖ ↑ ↗
← N 44.091531°
W  1.439209°		 ← 438.73 m → N 44.091531°
W  1.433716°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
N 44.087585°
W  1.439209°		 ← 438.76 m →
192 481 m²		 N 44.087585°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496009826660156 y=0.363273620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496009826660156 × 216)
    floor (0.496009826660156 × 65536)
    floor (32506.5)     		tx = 32506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363273620605469 × 216)
    floor (0.363273620605469 × 65536)
    floor (23807.5)     		ty = 23807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32506 / 23807 ti = "16/32506/23807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32506/23807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32506 ÷ 216
    32506 ÷ 65536     		x = 0.496002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23807 ÷ 216
    23807 ÷ 65536     		y = 0.363265991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363265991210938 × 2 - 1) × π
    0.273468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.859125114990646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02511894} λ = -0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859125114990646))-π/2
    2×atan(2.36109410398618)-π/2
    2×1.17016935321409-π/2
    2.34033870642819-1.57079632675     		φ = 0.76954238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76954238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.091531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32506 KachelY 23807 -0.02511894 0.76954238 -1.439209 44.091531
    Oben rechts KachelX + 1 32507 KachelY 23807 -0.02502306 0.76954238 -1.433716 44.091531
    Unten links KachelX 32506 KachelY + 1 23808 -0.02511894 0.76947352 -1.439209 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 32507 KachelY + 1 23808 -0.02502306 0.76947352 -1.433716 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76954238-0.76947352) × R
    6.88599999999484e-05 × 6371000     		dl = 438.707059999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76954238-0.76947352) × R
    6.88599999999484e-05 × 6371000     		dr = 438.707059999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(0.76954238) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		do = 438.731345265411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(0.76947352) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 438.760612101791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76954238)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718229159836713-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.02502306--0.02511894)×4.79115420668474e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.79115420668474e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.79115420668474e-05×40589641000000     		ar = 192480.95847083m²