Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32488 / 22372
↖ ↑ ↗
← N 49.482402°
W  1.538086°		 ← 396.82 m → N 49.482402°
W  1.532593°		 →
↑
396.85 m
↓
↑
396.85 m
↓
N 49.478833°
W  1.538086°		 ← 396.85 m →
157 483 m²		 N 49.478833°
W  1.532593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495735168457031 y=0.341377258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495735168457031 × 216)
    floor (0.495735168457031 × 65536)
    floor (32488.5)     		tx = 32488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341377258300781 × 216)
    floor (0.341377258300781 × 65536)
    floor (22372.5)     		ty = 22372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32488 / 22372 ti = "16/32488/22372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32488/22372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32488 ÷ 216
    32488 ÷ 65536     		x = 0.4957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22372 ÷ 216
    22372 ÷ 65536     		y = 0.34136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34136962890625 × 2 - 1) × π
    0.3172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996704016900207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02684466} λ = -0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996704016900207))-π/2
    2×atan(2.70933716631713)-π/2
    2×1.21721357631028-π/2
    2.43442715262057-1.57079632675     		φ = 0.86363083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86363083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.482402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32488 KachelY 22372 -0.02684466 0.86363083 -1.538086 49.482402
    Oben rechts KachelX + 1 32489 KachelY 22372 -0.02674879 0.86363083 -1.532593 49.482402
    Unten links KachelX 32488 KachelY + 1 22373 -0.02684466 0.86356854 -1.538086 49.478833
    Unten rechts KachelX + 1 32489 KachelY + 1 22373 -0.02674879 0.86356854 -1.532593 49.478833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86363083-0.86356854) × R
    6.22899999999094e-05 × 6371000     		dl = 396.849589999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86363083-0.86356854) × R
    6.22899999999094e-05 × 6371000     		dr = 396.849589999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02684466--0.02674879) × cos(0.86363083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649681576184229 × 6371000     		do = 396.817561127642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02684466--0.02674879) × cos(0.86356854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649728928183693 × 6371000     		du = 396.846483149799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86363083)-sin(0.86356854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649681576184229-0.649728928183693)×R²
    abs(-0.02674879--0.02684466)×4.73519994639293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73519994639293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73519994639293e-05×40589641000000     		ar = 157482.625335491m²