Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32487 / 22381
↖ ↑ ↗
← N 49.450272°
W  1.543579°		 ← 397.12 m → N 49.450272°
W  1.538086°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
N 49.446700°
W  1.543579°		 ← 397.15 m →
157 729 m²		 N 49.446700°
W  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495719909667969 y=0.341514587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495719909667969 × 216)
    floor (0.495719909667969 × 65536)
    floor (32487.5)     		tx = 32487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341514587402344 × 216)
    floor (0.341514587402344 × 65536)
    floor (22381.5)     		ty = 22381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32487 / 22381 ti = "16/32487/22381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32487/22381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32487 ÷ 216
    32487 ÷ 65536     		x = 0.495712280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22381 ÷ 216
    22381 ÷ 65536     		y = 0.341506958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495712280273438 × 2 - 1) × π
    -0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341506958007812 × 2 - 1) × π
    0.316986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995841152707047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02694054} λ = -0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995841152707047))-π/2
    2×atan(2.70700038459673)-π/2
    2×1.21693319088903-π/2
    2.43386638177807-1.57079632675     		φ = 0.86307006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86307006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.450272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32487 KachelY 22381 -0.02694054 0.86307006 -1.543579 49.450272
    Oben rechts KachelX + 1 32488 KachelY 22381 -0.02684466 0.86307006 -1.538086 49.450272
    Unten links KachelX 32487 KachelY + 1 22382 -0.02694054 0.86300772 -1.543579 49.446700
    Unten rechts KachelX + 1 32488 KachelY + 1 22382 -0.02684466 0.86300772 -1.538086 49.446700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86307006-0.86300772) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86307006-0.86300772) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02694054--0.02684466) × cos(0.86307006) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.650107774983536 × 6371000     		do = 397.119296508198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02694054--0.02684466) × cos(0.86300772) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.65015514227119 × 6371000     		du = 397.148230885965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86307006)-sin(0.86300772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650107774983536-0.65015514227119)×R²
    abs(-0.02684466--0.02694054)×4.73672876541986e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.73672876541986e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.73672876541986e-05×40589641000000     		ar = 157728.878309467m²