Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32487 / 22379
↖ ↑ ↗
← N 49.457413°
W  1.543579°		 ← 397.06 m → N 49.457413°
W  1.538086°		 →
↑
397.04 m
↓
↑
397.04 m
↓
N 49.453843°
W  1.543579°		 ← 397.09 m →
157 655 m²		 N 49.453843°
W  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495719909667969 y=0.341484069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495719909667969 × 216)
    floor (0.495719909667969 × 65536)
    floor (32487.5)     		tx = 32487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341484069824219 × 216)
    floor (0.341484069824219 × 65536)
    floor (22379.5)     		ty = 22379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32487 / 22379 ti = "16/32487/22379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32487/22379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32487 ÷ 216
    32487 ÷ 65536     		x = 0.495712280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22379 ÷ 216
    22379 ÷ 65536     		y = 0.341476440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495712280273438 × 2 - 1) × π
    -0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341476440429688 × 2 - 1) × π
    0.317047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.996032900305527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02694054} λ = -0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996032900305527))-π/2
    2×atan(2.70751949518708)-π/2
    2×1.21699551465121-π/2
    2.43399102930242-1.57079632675     		φ = 0.86319470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86319470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.457413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32487 KachelY 22379 -0.02694054 0.86319470 -1.543579 49.457413
    Oben rechts KachelX + 1 32488 KachelY 22379 -0.02684466 0.86319470 -1.538086 49.457413
    Unten links KachelX 32487 KachelY + 1 22380 -0.02694054 0.86313238 -1.543579 49.453843
    Unten rechts KachelX + 1 32488 KachelY + 1 22380 -0.02684466 0.86313238 -1.538086 49.453843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86319470-0.86313238) × R
    6.23199999999491e-05 × 6371000     		dl = 397.040719999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86319470-0.86313238) × R
    6.23199999999491e-05 × 6371000     		dr = 397.040719999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02694054--0.02684466) × cos(0.86319470) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.650013063225839 × 6371000     		do = 397.061441690836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02694054--0.02684466) × cos(0.86313238) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.650060420367034 × 6371000     		du = 397.090369870623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86319470)-sin(0.86313238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650013063225839-0.650060420367034)×R²
    abs(-0.02684466--0.02694054)×4.73571411948592e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.73571411948592e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.73571411948592e-05×40589641000000     		ar = 157655.30357668m²