Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32482 / 22438
↖ ↑ ↗
← N 49.246293°
W  1.571045°		 ← 398.77 m → N 49.246293°
W  1.565552°		 →
↑
398.76 m
↓
↑
398.76 m
↓
N 49.242707°
W  1.571045°		 ← 398.80 m →
159 019 m²		 N 49.242707°
W  1.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495643615722656 y=0.342384338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495643615722656 × 216)
    floor (0.495643615722656 × 65536)
    floor (32482.5)     		tx = 32482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342384338378906 × 216)
    floor (0.342384338378906 × 65536)
    floor (22438.5)     		ty = 22438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32482 / 22438 ti = "16/32482/22438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32482/22438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32482 ÷ 216
    32482 ÷ 65536     		x = 0.495635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22438 ÷ 216
    22438 ÷ 65536     		y = 0.342376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.00872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02741991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342376708984375 × 2 - 1) × π
    0.31524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99037634615036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02741991} λ = -0.02741991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99037634615036))-π/2
    2×atan(2.69224749869497)-π/2
    2×1.21515314484678-π/2
    2.43030628969356-1.57079632675     		φ = 0.85950996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02741991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85950996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.246293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32482 KachelY 22438 -0.02741991 0.85950996 -1.571045 49.246293
    Oben rechts KachelX + 1 32483 KachelY 22438 -0.02732403 0.85950996 -1.565552 49.246293
    Unten links KachelX 32482 KachelY + 1 22439 -0.02741991 0.85944737 -1.571045 49.242707
    Unten rechts KachelX + 1 32483 KachelY + 1 22439 -0.02732403 0.85944737 -1.565552 49.242707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85950996-0.85944737) × R
    6.25899999999735e-05 × 6371000     		dl = 398.760889999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85950996-0.85944737) × R
    6.25899999999735e-05 × 6371000     		dr = 398.760889999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02741991--0.02732403) × cos(0.85950996) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.652808762980805 × 6371000     		do = 398.769199023792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02741991--0.02732403) × cos(0.85944737) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		du = 398.798160757099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85950996)-sin(0.85944737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652808762980805-0.652856175051096)×R²
    abs(-0.02732403--0.02741991)×4.74120702909087e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.74120702909087e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.74120702909087e-05×40589641000000     		ar = 159019.335162436m²