Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32481 / 23265
↖ ↑ ↗
← N 46.191240°
W  1.576538°		 ← 422.82 m → N 46.191240°
W  1.571045°		 →
↑
422.91 m
↓
↑
422.91 m
↓
N 46.187437°
W  1.576538°		 ← 422.85 m →
178 820 m²		 N 46.187437°
W  1.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495628356933594 y=0.355003356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495628356933594 × 216)
    floor (0.495628356933594 × 65536)
    floor (32481.5)     		tx = 32481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355003356933594 × 216)
    floor (0.355003356933594 × 65536)
    floor (23265.5)     		ty = 23265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32481 / 23265 ti = "16/32481/23265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32481/23265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32481 ÷ 216
    32481 ÷ 65536     		x = 0.495620727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23265 ÷ 216
    23265 ÷ 65536     		y = 0.354995727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495620727539062 × 2 - 1) × π
    -0.008758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02751578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354995727539062 × 2 - 1) × π
    0.290008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.911088714178787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02751578} λ = -0.02751578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.911088714178787))-π/2
    2×atan(2.48702872341802)-π/2
    2×1.18849277149561-π/2
    2.37698554299121-1.57079632675     		φ = 0.80618922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02751578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.576538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80618922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.191240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32481 KachelY 23265 -0.02751578 0.80618922 -1.576538 46.191240
    Oben rechts KachelX + 1 32482 KachelY 23265 -0.02741991 0.80618922 -1.571045 46.191240
    Unten links KachelX 32481 KachelY + 1 23266 -0.02751578 0.80612284 -1.576538 46.187437
    Unten rechts KachelX + 1 32482 KachelY + 1 23266 -0.02741991 0.80612284 -1.571045 46.187437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80618922-0.80612284) × R
    6.63800000000325e-05 × 6371000     		dl = 422.906980000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80618922-0.80612284) × R
    6.63800000000325e-05 × 6371000     		dr = 422.906980000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02751578--0.02741991) × cos(0.80618922) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.692253518892414 × 6371000     		do = 422.819983078957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02751578--0.02741991) × cos(0.80612284) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.692301420785968 × 6371000     		du = 422.849240969699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80618922)-sin(0.80612284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692253518892414-0.692301420785968)×R²
    abs(-0.02741991--0.02751578)×4.79018935539699e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.79018935539699e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.79018935539699e-05×40589641000000     		ar = 178819.708876354m²