Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32478 / 22454
↖ ↑ ↗
← N 49.188884°
W  1.593017°		 ← 399.19 m → N 49.188884°
W  1.587525°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
N 49.185294°
W  1.593017°		 ← 399.22 m →
159 366 m²		 N 49.185294°
W  1.587525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495582580566406 y=0.342628479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495582580566406 × 216)
    floor (0.495582580566406 × 65536)
    floor (32478.5)     		tx = 32478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342628479003906 × 216)
    floor (0.342628479003906 × 65536)
    floor (22454.5)     		ty = 22454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32478 / 22454 ti = "16/32478/22454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32478/22454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32478 ÷ 216
    32478 ÷ 65536     		x = 0.495574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22454 ÷ 216
    22454 ÷ 65536     		y = 0.342620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.00885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02780340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342620849609375 × 2 - 1) × π
    0.31475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.988842365362518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02780340} λ = -0.02780340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988842365362518))-π/2
    2×atan(2.68812080869666)-π/2
    2×1.21465215585737-π/2
    2.42930431171473-1.57079632675     		φ = 0.85850798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02780340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.593017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85850798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.188884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32478 KachelY 22454 -0.02780340 0.85850798 -1.593017 49.188884
    Oben rechts KachelX + 1 32479 KachelY 22454 -0.02770753 0.85850798 -1.587525 49.188884
    Unten links KachelX 32478 KachelY + 1 22455 -0.02780340 0.85844532 -1.593017 49.185294
    Unten rechts KachelX + 1 32479 KachelY + 1 22455 -0.02770753 0.85844532 -1.587525 49.185294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85850798-0.85844532) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dl = 399.20685999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85850798-0.85844532) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dr = 399.20685999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02780340--0.02770753) × cos(0.85850798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65356745780211 × 6371000     		do = 399.191010095511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02780340--0.02770753) × cos(0.85844532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653614881884833 × 6371000     		du = 399.219976145242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85850798)-sin(0.85844532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65356745780211-0.653614881884833)×R²
    abs(-0.02770753--0.02780340)×4.74240827229577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74240827229577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74240827229577e-05×40589641000000     		ar = 159365.571455772m²