Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32473 / 22563
↖ ↑ ↗
← N 48.796009°
W  1.620483°		 ← 402.35 m → N 48.796009°
W  1.614990°		 →
↑
402.39 m
↓
↑
402.39 m
↓
N 48.792390°
W  1.620483°		 ← 402.38 m →
161 909 m²		 N 48.792390°
W  1.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495506286621094 y=0.344291687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495506286621094 × 216)
    floor (0.495506286621094 × 65536)
    floor (32473.5)     		tx = 32473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344291687011719 × 216)
    floor (0.344291687011719 × 65536)
    floor (22563.5)     		ty = 22563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32473 / 22563 ti = "16/32473/22563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32473/22563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32473 ÷ 216
    32473 ÷ 65536     		x = 0.495498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22563 ÷ 216
    22563 ÷ 65536     		y = 0.344284057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495498657226562 × 2 - 1) × π
    -0.009002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02828277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344284057617188 × 2 - 1) × π
    0.311431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.978392121245346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02828277} λ = -0.02828277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978392121245346))-π/2
    2×atan(2.66017556167496)-π/2
    2×1.2112236719931-π/2
    2.42244734398619-1.57079632675     		φ = 0.85165102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02828277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.620483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85165102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.796009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32473 KachelY 22563 -0.02828277 0.85165102 -1.620483 48.796009
    Oben rechts KachelX + 1 32474 KachelY 22563 -0.02818690 0.85165102 -1.614990 48.796009
    Unten links KachelX 32473 KachelY + 1 22564 -0.02828277 0.85158786 -1.620483 48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 32474 KachelY + 1 22564 -0.02818690 0.85158786 -1.614990 48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85165102-0.85158786) × R
    6.31600000000621e-05 × 6371000     		dl = 402.392360000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85165102-0.85158786) × R
    6.31600000000621e-05 × 6371000     		dr = 402.392360000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02828277--0.02818690) × cos(0.85165102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		do = 402.35147653756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02828277--0.02818690) × cos(0.85158786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 402.380500142439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85165102)-sin(0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658741867961057-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.02818690--0.02828277)×4.75183137335078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75183137335078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75183137335078e-05×40589641000000     		ar = 161908.999685907m²