Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32468 / 22964
↖ ↑ ↗
← N 47.323930°
W  1.647949°		 ← 414.02 m → N 47.323930°
W  1.642456°		 →
↑
414.05 m
↓
↑
414.05 m
↓
N 47.320207°
W  1.647949°		 ← 414.05 m →
171 433 m²		 N 47.320207°
W  1.642456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495429992675781 y=0.350410461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495429992675781 × 216)
    floor (0.495429992675781 × 65536)
    floor (32468.5)     		tx = 32468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350410461425781 × 216)
    floor (0.350410461425781 × 65536)
    floor (22964.5)     		ty = 22964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32468 / 22964 ti = "16/32468/22964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32468/22964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32468 ÷ 216
    32468 ÷ 65536     		x = 0.49542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22964 ÷ 216
    22964 ÷ 65536     		y = 0.35040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02876214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35040283203125 × 2 - 1) × π
    0.2991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.939946727750061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02876214} λ = -0.02876214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939946727750061))-π/2
    2×atan(2.55984504599178)-π/2
    2×1.19837736511256-π/2
    2.39675473022513-1.57079632675     		φ = 0.82595840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02876214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82595840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.323930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32468 KachelY 22964 -0.02876214 0.82595840 -1.647949 47.323930
    Oben rechts KachelX + 1 32469 KachelY 22964 -0.02866627 0.82595840 -1.642456 47.323930
    Unten links KachelX 32468 KachelY + 1 22965 -0.02876214 0.82589341 -1.647949 47.320207
    Unten rechts KachelX + 1 32469 KachelY + 1 22965 -0.02866627 0.82589341 -1.642456 47.320207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82595840-0.82589341) × R
    6.49899999999315e-05 × 6371000     		dl = 414.051289999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82595840-0.82589341) × R
    6.49899999999315e-05 × 6371000     		dr = 414.051289999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02876214--0.02866627) × cos(0.82595840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677852663499477 × 6371000     		do = 414.024116727397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02876214--0.02866627) × cos(0.82589341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677900442571238 × 6371000     		du = 414.053299600091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82595840)-sin(0.82589341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677852663499477-0.677900442571238)×R²
    abs(-0.02866627--0.02876214)×4.77790717617887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77790717617887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77790717617887e-05×40589641000000     		ar = 171433.261285145m²