Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32464 / 22226
↖ ↑ ↗
← N 50.000678°
W  1.669922°		 ← 392.60 m → N 50.000678°
W  1.664429°		 →
↑
392.64 m
↓
↑
392.64 m
↓
N 49.997147°
W  1.669922°		 ← 392.63 m →
154 158 m²		 N 49.997147°
W  1.664429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495368957519531 y=0.339149475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495368957519531 × 216)
    floor (0.495368957519531 × 65536)
    floor (32464.5)     		tx = 32464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339149475097656 × 216)
    floor (0.339149475097656 × 65536)
    floor (22226.5)     		ty = 22226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32464 / 22226 ti = "16/32464/22226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32464/22226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32464 ÷ 216
    32464 ÷ 65536     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22226 ÷ 216
    22226 ÷ 65536     		y = 0.339141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339141845703125 × 2 - 1) × π
    0.32171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01070159158926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01070159158926))-π/2
    2×atan(2.74752798148922)-π/2
    2×1.2217363909344-π/2
    2.4434727818688-1.57079632675     		φ = 0.87267646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87267646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.000678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32464 KachelY 22226 -0.02914563 0.87267646 -1.669922 50.000678
    Oben rechts KachelX + 1 32465 KachelY 22226 -0.02904976 0.87267646 -1.664429 50.000678
    Unten links KachelX 32464 KachelY + 1 22227 -0.02914563 0.87261483 -1.669922 49.997147
    Unten rechts KachelX + 1 32465 KachelY + 1 22227 -0.02904976 0.87261483 -1.664429 49.997147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87267646-0.87261483) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dl = 392.644730000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87267646-0.87261483) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dr = 392.644730000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02904976) × cos(0.87267646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		do = 392.601273658156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02904976) × cos(0.87261483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6428257548365 × 6371000     		du = 392.630109295144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87267646)-sin(0.87261483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642778544269419-0.6428257548365)×R²
    abs(-0.02904976--0.02914563)×4.72105670812351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72105670812351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72105670812351e-05×40589641000000     		ar = 154158.482222401m²