Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32463 / 22959
↖ ↑ ↗
← N 47.342545°
W  1.675415°		 ← 413.92 m → N 47.342545°
W  1.669922°		 →
↑
413.92 m
↓
↑
413.92 m
↓
N 47.338823°
W  1.675415°		 ← 413.95 m →
171 338 m²		 N 47.338823°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495353698730469 y=0.350334167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495353698730469 × 216)
    floor (0.495353698730469 × 65536)
    floor (32463.5)     		tx = 32463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350334167480469 × 216)
    floor (0.350334167480469 × 65536)
    floor (22959.5)     		ty = 22959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32463 / 22959 ti = "16/32463/22959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32463/22959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32463 ÷ 216
    32463 ÷ 65536     		x = 0.495346069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22959 ÷ 216
    22959 ÷ 65536     		y = 0.350326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495346069335938 × 2 - 1) × π
    -0.009307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02924151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350326538085938 × 2 - 1) × π
    0.299346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.940426096746262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02924151} λ = -0.02924151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940426096746262))-π/2
    2×atan(2.56107245050824)-π/2
    2×1.19853980725803-π/2
    2.39707961451606-1.57079632675     		φ = 0.82628329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02924151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.675415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82628329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.342545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32463 KachelY 22959 -0.02924151 0.82628329 -1.675415 47.342545
    Oben rechts KachelX + 1 32464 KachelY 22959 -0.02914563 0.82628329 -1.669922 47.342545
    Unten links KachelX 32463 KachelY + 1 22960 -0.02924151 0.82621832 -1.675415 47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 32464 KachelY + 1 22960 -0.02914563 0.82621832 -1.669922 47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82628329-0.82621832) × R
    6.4970000000053e-05 × 6371000     		dl = 413.923870000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82628329-0.82621832) × R
    6.4970000000053e-05 × 6371000     		dr = 413.923870000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02924151--0.02914563) × cos(0.82628329) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.677613769324087 × 6371000     		do = 413.921373859996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02924151--0.02914563) × cos(0.82621832) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 413.950559534243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82628329)-sin(0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677613769324087-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.02914563--0.02924151)×4.77786748545039e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77786748545039e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77786748545039e-05×40589641000000     		ar = 171337.977328037m²