Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32458 / 22715
↖ ↑ ↗
← N 48.242967°
W  1.702881°		 ← 406.81 m → N 48.242967°
W  1.697387°		 →
↑
406.79 m
↓
↑
406.79 m
↓
N 48.239309°
W  1.702881°		 ← 406.84 m →
165 492 m²		 N 48.239309°
W  1.697387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495277404785156 y=0.346611022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495277404785156 × 216)
    floor (0.495277404785156 × 65536)
    floor (32458.5)     		tx = 32458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346611022949219 × 216)
    floor (0.346611022949219 × 65536)
    floor (22715.5)     		ty = 22715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32458 / 22715 ti = "16/32458/22715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32458/22715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32458 ÷ 216
    32458 ÷ 65536     		x = 0.495269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22715 ÷ 216
    22715 ÷ 65536     		y = 0.346603393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.00946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02972088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346603393554688 × 2 - 1) × π
    0.306793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963819303760849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02972088} λ = -0.02972088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963819303760849))-π/2
    2×atan(2.62169040837441)-π/2
    2×1.20639747460531-π/2
    2.41279494921062-1.57079632675     		φ = 0.84199862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02972088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.702881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84199862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.242967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32458 KachelY 22715 -0.02972088 0.84199862 -1.702881 48.242967
    Oben rechts KachelX + 1 32459 KachelY 22715 -0.02962500 0.84199862 -1.697387 48.242967
    Unten links KachelX 32458 KachelY + 1 22716 -0.02972088 0.84193477 -1.702881 48.239309
    Unten rechts KachelX + 1 32459 KachelY + 1 22716 -0.02962500 0.84193477 -1.697387 48.239309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84199862-0.84193477) × R
    6.38499999999764e-05 × 6371000     		dl = 406.78834999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84199862-0.84193477) × R
    6.38499999999764e-05 × 6371000     		dr = 406.78834999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02972088--0.02962500) × cos(0.84199862) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.665973235116029 × 6371000     		do = 406.810736311027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02972088--0.02962500) × cos(0.84193477) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.666020864302854 × 6371000     		du = 406.83983067029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84199862)-sin(0.84193477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665973235116029-0.666020864302854)×R²
    abs(-0.02962500--0.02972088)×4.76291868246603e-05×R²
    9.5880000000003e-05×4.76291868246603e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×4.76291868246603e-05×40589641000000     		ar = 165491.785865662m²