Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32456 / 23240
↖ ↑ ↗
← N 46.286224°
W  1.713867°		 ← 422.13 m → N 46.286224°
W  1.708374°		 →
↑
422.14 m
↓
↑
422.14 m
↓
N 46.282428°
W  1.713867°		 ← 422.16 m →
178 206 m²		 N 46.282428°
W  1.708374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495246887207031 y=0.354621887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495246887207031 × 216)
    floor (0.495246887207031 × 65536)
    floor (32456.5)     		tx = 32456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354621887207031 × 216)
    floor (0.354621887207031 × 65536)
    floor (23240.5)     		ty = 23240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32456 / 23240 ti = "16/32456/23240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32456/23240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32456 ÷ 216
    32456 ÷ 65536     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23240 ÷ 216
    23240 ÷ 65536     		y = 0.3546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3546142578125 × 2 - 1) × π
    0.290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.91348555915979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91348555915979))-π/2
    2×atan(2.49299689526553)-π/2
    2×1.18932166623124-π/2
    2.37864333246247-1.57079632675     		φ = 0.80784701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80784701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.286224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32456 KachelY 23240 -0.02991263 0.80784701 -1.713867 46.286224
    Oben rechts KachelX + 1 32457 KachelY 23240 -0.02981675 0.80784701 -1.708374 46.286224
    Unten links KachelX 32456 KachelY + 1 23241 -0.02991263 0.80778075 -1.713867 46.282428
    Unten rechts KachelX + 1 32457 KachelY + 1 23241 -0.02981675 0.80778075 -1.708374 46.282428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80784701-0.80778075) × R
    6.62599999999847e-05 × 6371000     		dl = 422.142459999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80784701-0.80778075) × R
    6.62599999999847e-05 × 6371000     		dr = 422.142459999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02981675) × cos(0.80784701) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.691056216752417 × 6371000     		do = 422.132712766413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02981675) × cos(0.80778075) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.691104108030542 × 6371000     		du = 422.161967224535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80784701)-sin(0.80778075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691056216752417-0.691104108030542)×R²
    abs(-0.02981675--0.02991263)×4.78912781248786e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78912781248786e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78912781248786e-05×40589641000000     		ar = 178206.316653115m²