Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32455 / 22719
↖ ↑ ↗
← N 48.228332°
W  1.719360°		 ← 406.88 m → N 48.228332°
W  1.713867°		 →
↑
406.92 m
↓
↑
406.92 m
↓
N 48.224673°
W  1.719360°		 ← 406.91 m →
165 574 m²		 N 48.224673°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495231628417969 y=0.346672058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495231628417969 × 216)
    floor (0.495231628417969 × 65536)
    floor (32455.5)     		tx = 32455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346672058105469 × 216)
    floor (0.346672058105469 × 65536)
    floor (22719.5)     		ty = 22719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32455 / 22719 ti = "16/32455/22719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32455/22719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32455 ÷ 216
    32455 ÷ 65536     		x = 0.495223999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22719 ÷ 216
    22719 ÷ 65536     		y = 0.346664428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495223999023438 × 2 - 1) × π
    -0.009552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03000850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346664428710938 × 2 - 1) × π
    0.306671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963435808563889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03000850} λ = -0.03000850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963435808563889))-π/2
    2×atan(2.62068519545436)-π/2
    2×1.20626975757091-π/2
    2.41253951514181-1.57079632675     		φ = 0.84174319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03000850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.719360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84174319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.228332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32455 KachelY 22719 -0.03000850 0.84174319 -1.719360 48.228332
    Oben rechts KachelX + 1 32456 KachelY 22719 -0.02991263 0.84174319 -1.713867 48.228332
    Unten links KachelX 32455 KachelY + 1 22720 -0.03000850 0.84167932 -1.719360 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 32456 KachelY + 1 22720 -0.02991263 0.84167932 -1.713867 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84174319-0.84167932) × R
    6.38699999999659e-05 × 6371000     		dl = 406.915769999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84174319-0.84167932) × R
    6.38699999999659e-05 × 6371000     		dr = 406.915769999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03000850--0.02991263) × cos(0.84174319) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.666163757945224 × 6371000     		do = 406.884676170189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03000850--0.02991263) × cos(0.84167932) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 406.9137699698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84174319)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666163757945224-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.02991263--0.03000850)×4.76332386475375e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76332386475375e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76332386475375e-05×40589641000000     		ar = 165573.710724349m²