Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32455 / 22566
↖ ↑ ↗
← N 48.785152°
W  1.719360°		 ← 402.44 m → N 48.785152°
W  1.713867°		 →
↑
402.46 m
↓
↑
402.46 m
↓
N 48.781533°
W  1.719360°		 ← 402.47 m →
161 970 m²		 N 48.781533°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495231628417969 y=0.344337463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495231628417969 × 216)
    floor (0.495231628417969 × 65536)
    floor (32455.5)     		tx = 32455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344337463378906 × 216)
    floor (0.344337463378906 × 65536)
    floor (22566.5)     		ty = 22566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32455 / 22566 ti = "16/32455/22566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32455/22566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32455 ÷ 216
    32455 ÷ 65536     		x = 0.495223999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22566 ÷ 216
    22566 ÷ 65536     		y = 0.344329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495223999023438 × 2 - 1) × π
    -0.009552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03000850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344329833984375 × 2 - 1) × π
    0.31134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.978104499847626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03000850} λ = -0.03000850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978104499847626))-π/2
    2×atan(2.65941054828411)-π/2
    2×1.21112892761411-π/2
    2.42225785522822-1.57079632675     		φ = 0.85146153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03000850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.719360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85146153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.785152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32455 KachelY 22566 -0.03000850 0.85146153 -1.719360 48.785152
    Oben rechts KachelX + 1 32456 KachelY 22566 -0.02991263 0.85146153 -1.713867 48.785152
    Unten links KachelX 32455 KachelY + 1 22567 -0.03000850 0.85139836 -1.719360 48.781533
    Unten rechts KachelX + 1 32456 KachelY + 1 22567 -0.02991263 0.85139836 -1.713867 48.781533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85146153-0.85139836) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dl = 402.456070000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85146153-0.85139836) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dr = 402.456070000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03000850--0.02991263) × cos(0.85146153) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.658884422540411 × 6371000     		do = 402.438547131201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03000850--0.02991263) × cos(0.85139836) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.658931940491086 × 6371000     		du = 402.467570514329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85146153)-sin(0.85139836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658884422540411-0.658931940491086)×R²
    abs(-0.02991263--0.03000850)×4.75179506749246e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.75179506749246e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.75179506749246e-05×40589641000000     		ar = 161969.676466941m²