Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32454 / 22717
↖ ↑ ↗
← N 48.235650°
W  1.724853°		 ← 406.83 m → N 48.235650°
W  1.719360°		 →
↑
406.85 m
↓
↑
406.85 m
↓
N 48.231991°
W  1.724853°		 ← 406.86 m →
165 524 m²		 N 48.231991°
W  1.719360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495216369628906 y=0.346641540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495216369628906 × 216)
    floor (0.495216369628906 × 65536)
    floor (32454.5)     		tx = 32454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346641540527344 × 216)
    floor (0.346641540527344 × 65536)
    floor (22717.5)     		ty = 22717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32454 / 22717 ti = "16/32454/22717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32454/22717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32454 ÷ 216
    32454 ÷ 65536     		x = 0.495208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22717 ÷ 216
    22717 ÷ 65536     		y = 0.346633911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.00958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03010437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346633911132812 × 2 - 1) × π
    0.306732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.963627556162369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03010437} λ = -0.03010437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963627556162369))-π/2
    2×atan(2.62118775372759)-π/2
    2×1.20633362065472-π/2
    2.41266724130943-1.57079632675     		φ = 0.84187091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03010437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.724853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84187091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.235650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32454 KachelY 22717 -0.03010437 0.84187091 -1.724853 48.235650
    Oben rechts KachelX + 1 32455 KachelY 22717 -0.03000850 0.84187091 -1.719360 48.235650
    Unten links KachelX 32454 KachelY + 1 22718 -0.03010437 0.84180705 -1.724853 48.231991
    Unten rechts KachelX + 1 32455 KachelY + 1 22718 -0.03000850 0.84180705 -1.719360 48.231991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84187091-0.84180705) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dl = 406.85206000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84187091-0.84180705) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dr = 406.85206000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03010437--0.03000850) × cos(0.84187091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		do = 406.826492703179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03010437--0.03000850) × cos(0.84180705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666116129447524 × 6371000     		du = 406.855585266276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84187091)-sin(0.84180705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666068498233336-0.666116129447524)×R²
    abs(-0.03000850--0.03010437)×4.76312141880486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76312141880486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76312141880486e-05×40589641000000     		ar = 165524.114859645m²