Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32452 / 22977
↖ ↑ ↗
← N 47.275502°
W  1.735840°		 ← 414.40 m → N 47.275502°
W  1.730347°		 →
↑
414.43 m
↓
↑
414.43 m
↓
N 47.271775°
W  1.735840°		 ← 414.43 m →
171 749 m²		 N 47.271775°
W  1.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495185852050781 y=0.350608825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495185852050781 × 216)
    floor (0.495185852050781 × 65536)
    floor (32452.5)     		tx = 32452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350608825683594 × 216)
    floor (0.350608825683594 × 65536)
    floor (22977.5)     		ty = 22977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32452 / 22977 ti = "16/32452/22977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32452/22977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32452 ÷ 216
    32452 ÷ 65536     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22977 ÷ 216
    22977 ÷ 65536     		y = 0.350601196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350601196289062 × 2 - 1) × π
    0.298797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93870036835994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93870036835994))-π/2
    2×atan(2.55665654650234)-π/2
    2×1.19795474755126-π/2
    2.39590949510251-1.57079632675     		φ = 0.82511317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82511317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.275502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32452 KachelY 22977 -0.03029612 0.82511317 -1.735840 47.275502
    Oben rechts KachelX + 1 32453 KachelY 22977 -0.03020025 0.82511317 -1.730347 47.275502
    Unten links KachelX 32452 KachelY + 1 22978 -0.03029612 0.82504812 -1.735840 47.271775
    Unten rechts KachelX + 1 32453 KachelY + 1 22978 -0.03020025 0.82504812 -1.730347 47.271775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82511317-0.82504812) × R
    6.50499999998999e-05 × 6371000     		dl = 414.433549999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82511317-0.82504812) × R
    6.50499999998999e-05 × 6371000     		dr = 414.433549999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.03020025) × cos(0.82511317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678473832506209 × 6371000     		do = 414.403519159812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.03020025) × cos(0.82504812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678521618398961 × 6371000     		du = 414.432706198683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82511317)-sin(0.82504812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678473832506209-0.678521618398961)×R²
    abs(-0.03020025--0.03029612)×4.77858927520058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77858927520058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77858927520058e-05×40589641000000     		ar = 171748.769682033m²