Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32451 / 22573
↖ ↑ ↗
← N 48.759810°
W  1.741333°		 ← 402.64 m → N 48.759810°
W  1.735840°		 →
↑
402.71 m
↓
↑
402.71 m
↓
N 48.756188°
W  1.741333°		 ← 402.67 m →
162 154 m²		 N 48.756188°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495170593261719 y=0.344444274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495170593261719 × 216)
    floor (0.495170593261719 × 65536)
    floor (32451.5)     		tx = 32451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344444274902344 × 216)
    floor (0.344444274902344 × 65536)
    floor (22573.5)     		ty = 22573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32451 / 22573 ti = "16/32451/22573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32451/22573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32451 ÷ 216
    32451 ÷ 65536     		x = 0.495162963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22573 ÷ 216
    22573 ÷ 65536     		y = 0.344436645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495162963867188 × 2 - 1) × π
    -0.009674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03039199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344436645507812 × 2 - 1) × π
    0.311126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.977433383252945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03039199} λ = -0.03039199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977433383252945))-π/2
    2×atan(2.65762637249505)-π/2
    2×1.21090777766758-π/2
    2.42181555533517-1.57079632675     		φ = 0.85101923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03039199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.741333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85101923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.759810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32451 KachelY 22573 -0.03039199 0.85101923 -1.741333 48.759810
    Oben rechts KachelX + 1 32452 KachelY 22573 -0.03029612 0.85101923 -1.735840 48.759810
    Unten links KachelX 32451 KachelY + 1 22574 -0.03039199 0.85095602 -1.741333 48.756188
    Unten rechts KachelX + 1 32452 KachelY + 1 22574 -0.03029612 0.85095602 -1.735840 48.756188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85101923-0.85095602) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dl = 402.710909999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85101923-0.85095602) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dr = 402.710909999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03039199--0.03029612) × cos(0.85101923) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.65921707568518 × 6371000     		do = 402.641727603678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03039199--0.03029612) × cos(0.85095602) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		du = 402.670758109715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85101923)-sin(0.85095602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65921707568518-0.659264605297694)×R²
    abs(-0.03029612--0.03039199)×4.75296125143077e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.75296125143077e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.75296125143077e-05×40589641000000     		ar = 162154.06203193m²