Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32450 / 22983
↖ ↑ ↗
← N 47.253136°
W  1.746826°		 ← 414.62 m → N 47.253136°
W  1.741333°		 →
↑
414.62 m
↓
↑
414.62 m
↓
N 47.249407°
W  1.746826°		 ← 414.65 m →
171 919 m²		 N 47.249407°
W  1.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495155334472656 y=0.350700378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495155334472656 × 216)
    floor (0.495155334472656 × 65536)
    floor (32450.5)     		tx = 32450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350700378417969 × 216)
    floor (0.350700378417969 × 65536)
    floor (22983.5)     		ty = 22983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32450 / 22983 ti = "16/32450/22983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32450/22983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32450 ÷ 216
    32450 ÷ 65536     		x = 0.495147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22983 ÷ 216
    22983 ÷ 65536     		y = 0.350692749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.00970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03048787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350692749023438 × 2 - 1) × π
    0.298614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.938125125564499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03048787} λ = -0.03048787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938125125564499))-π/2
    2×atan(2.55518627116674)-π/2
    2×1.19775956272541-π/2
    2.39551912545081-1.57079632675     		φ = 0.82472280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03048787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82472280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.253136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32450 KachelY 22983 -0.03048787 0.82472280 -1.746826 47.253136
    Oben rechts KachelX + 1 32451 KachelY 22983 -0.03039199 0.82472280 -1.741333 47.253136
    Unten links KachelX 32450 KachelY + 1 22984 -0.03048787 0.82465772 -1.746826 47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 32451 KachelY + 1 22984 -0.03039199 0.82465772 -1.741333 47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82472280-0.82465772) × R
    6.50799999999396e-05 × 6371000     		dl = 414.624679999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82472280-0.82465772) × R
    6.50799999999396e-05 × 6371000     		dr = 414.624679999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03048787--0.03039199) × cos(0.82472280) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678760556196367 × 6371000     		do = 414.621890318172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03048787--0.03039199) × cos(0.82465772) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678808346885465 × 6371000     		du = 414.651083331338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82472280)-sin(0.82465772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678760556196367-0.678808346885465)×R²
    abs(-0.03039199--0.03048787)×4.77906890977708e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77906890977708e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77906890977708e-05×40589641000000     		ar = 171918.520726668m²