Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32449 / 23234
↖ ↑ ↗
← N 46.308996°
W  1.752319°		 ← 421.91 m → N 46.308996°
W  1.746826°		 →
↑
421.95 m
↓
↑
421.95 m
↓
N 46.305201°
W  1.752319°		 ← 421.94 m →
178 033 m²		 N 46.305201°
W  1.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495140075683594 y=0.354530334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495140075683594 × 216)
    floor (0.495140075683594 × 65536)
    floor (32449.5)     		tx = 32449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354530334472656 × 216)
    floor (0.354530334472656 × 65536)
    floor (23234.5)     		ty = 23234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32449 / 23234 ti = "16/32449/23234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32449/23234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32449 ÷ 216
    32449 ÷ 65536     		x = 0.495132446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23234 ÷ 216
    23234 ÷ 65536     		y = 0.354522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.009735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03058374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354522705078125 × 2 - 1) × π
    0.29095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.914060801955231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03058374} λ = -0.03058374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914060801955231))-π/2
    2×atan(2.49443138631935)-π/2
    2×1.18952038746625-π/2
    2.37904077493249-1.57079632675     		φ = 0.80824445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03058374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.752319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80824445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.308996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32449 KachelY 23234 -0.03058374 0.80824445 -1.752319 46.308996
    Oben rechts KachelX + 1 32450 KachelY 23234 -0.03048787 0.80824445 -1.746826 46.308996
    Unten links KachelX 32449 KachelY + 1 23235 -0.03058374 0.80817822 -1.752319 46.305201
    Unten rechts KachelX + 1 32450 KachelY + 1 23235 -0.03048787 0.80817822 -1.746826 46.305201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80824445-0.80817822) × R
    6.6230000000056e-05 × 6371000     		dl = 421.951330000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80824445-0.80817822) × R
    6.6230000000056e-05 × 6371000     		dr = 421.951330000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03058374--0.03048787) × cos(0.80824445) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.690768892146008 × 6371000     		do = 421.913191219237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03058374--0.03048787) × cos(0.80817822) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.690816779928619 × 6371000     		du = 421.942440491188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80824445)-sin(0.80817822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690768892146008-0.690816779928619)×R²
    abs(-0.03048787--0.03058374)×4.78877826104451e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78877826104451e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78877826104451e-05×40589641000000     		ar = 178033.003129389m²