Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32449 / 22722
↖ ↑ ↗
← N 48.217353°
W  1.752319°		 ← 406.97 m → N 48.217353°
W  1.746826°		 →
↑
406.98 m
↓
↑
406.98 m
↓
N 48.213693°
W  1.752319°		 ← 407 m →
165 635 m²		 N 48.213693°
W  1.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495140075683594 y=0.346717834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495140075683594 × 216)
    floor (0.495140075683594 × 65536)
    floor (32449.5)     		tx = 32449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346717834472656 × 216)
    floor (0.346717834472656 × 65536)
    floor (22722.5)     		ty = 22722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32449 / 22722 ti = "16/32449/22722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32449/22722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32449 ÷ 216
    32449 ÷ 65536     		x = 0.495132446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22722 ÷ 216
    22722 ÷ 65536     		y = 0.346710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.009735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03058374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346710205078125 × 2 - 1) × π
    0.30657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.963148187166168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03058374} λ = -0.03058374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963148187166168))-π/2
    2×atan(2.61993153870456)-π/2
    2×1.20617394581983-π/2
    2.41234789163965-1.57079632675     		φ = 0.84155156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03058374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.752319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84155156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.217353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32449 KachelY 22722 -0.03058374 0.84155156 -1.752319 48.217353
    Oben rechts KachelX + 1 32450 KachelY 22722 -0.03048787 0.84155156 -1.746826 48.217353
    Unten links KachelX 32449 KachelY + 1 22723 -0.03058374 0.84148768 -1.752319 48.213693
    Unten rechts KachelX + 1 32450 KachelY + 1 22723 -0.03048787 0.84148768 -1.746826 48.213693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84155156-0.84148768) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dl = 406.979480000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84155156-0.84148768) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dr = 406.979480000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03058374--0.03048787) × cos(0.84155156) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.666306664421347 × 6371000     		do = 406.971961698059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03058374--0.03048787) × cos(0.84148768) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.666354296961731 × 6371000     		du = 407.001055071179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84155156)-sin(0.84148768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666306664421347-0.666354296961731)×R²
    abs(-0.03048787--0.03058374)×4.76325403840905e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76325403840905e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76325403840905e-05×40589641000000     		ar = 165635.157605527m²