Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32448 / 22974
↖ ↑ ↗
← N 47.286682°
W  1.757813°		 ← 414.36 m → N 47.286682°
W  1.752319°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
N 47.282955°
W  1.757813°		 ← 414.39 m →
171 704 m²		 N 47.282955°
W  1.752319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495124816894531 y=0.350563049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495124816894531 × 216)
    floor (0.495124816894531 × 65536)
    floor (32448.5)     		tx = 32448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350563049316406 × 216)
    floor (0.350563049316406 × 65536)
    floor (22974.5)     		ty = 22974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32448 / 22974 ti = "16/32448/22974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32448/22974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32448 ÷ 216
    32448 ÷ 65536     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22974 ÷ 216
    22974 ÷ 65536     		y = 0.350555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350555419921875 × 2 - 1) × π
    0.29888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.93898798975766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93898798975766))-π/2
    2×atan(2.55739200139295)-π/2
    2×1.1980523090394-π/2
    2.3961046180788-1.57079632675     		φ = 0.82530829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82530829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.286682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32448 KachelY 22974 -0.03067962 0.82530829 -1.757813 47.286682
    Oben rechts KachelX + 1 32449 KachelY 22974 -0.03058374 0.82530829 -1.752319 47.286682
    Unten links KachelX 32448 KachelY + 1 22975 -0.03067962 0.82524325 -1.757813 47.282955
    Unten rechts KachelX + 1 32449 KachelY + 1 22975 -0.03058374 0.82524325 -1.752319 47.282955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82530829-0.82524325) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dl = 414.369840000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82530829-0.82524325) × R
    6.50400000000717e-05 × 6371000     		dr = 414.369840000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.82530829) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678330479645687 × 6371000     		do = 414.359177420676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.82524325) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678378266802272 × 6371000     		du = 414.388368276001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82530829)-sin(0.82524325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678330479645687-0.678378266802272)×R²
    abs(-0.03058374--0.03067962)×4.7787156584822e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7787156584822e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7787156584822e-05×40589641000000     		ar = 171703.994015781m²