Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32448 / 22973
↖ ↑ ↗
← N 47.290408°
W  1.757813°		 ← 414.33 m → N 47.290408°
W  1.752319°		 →
↑
414.31 m
↓
↑
414.31 m
↓
N 47.286682°
W  1.757813°		 ← 414.36 m →
171 666 m²		 N 47.286682°
W  1.752319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495124816894531 y=0.350547790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495124816894531 × 216)
    floor (0.495124816894531 × 65536)
    floor (32448.5)     		tx = 32448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350547790527344 × 216)
    floor (0.350547790527344 × 65536)
    floor (22973.5)     		ty = 22973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32448 / 22973 ti = "16/32448/22973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32448/22973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32448 ÷ 216
    32448 ÷ 65536     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22973 ÷ 216
    22973 ÷ 65536     		y = 0.350540161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350540161132812 × 2 - 1) × π
    0.298919677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.9390838635569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9390838635569))-π/2
    2×atan(2.55763720003415)-π/2
    2×1.19808482495415-π/2
    2.39616964990831-1.57079632675     		φ = 0.82537332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82537332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.290408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32448 KachelY 22973 -0.03067962 0.82537332 -1.757813 47.290408
    Oben rechts KachelX + 1 32449 KachelY 22973 -0.03058374 0.82537332 -1.752319 47.290408
    Unten links KachelX 32448 KachelY + 1 22974 -0.03067962 0.82530829 -1.757813 47.286682
    Unten rechts KachelX + 1 32449 KachelY + 1 22974 -0.03058374 0.82530829 -1.752319 47.286682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82537332-0.82530829) × R
    6.50299999999104e-05 × 6371000     		dl = 414.306129999429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82537332-0.82530829) × R
    6.50299999999104e-05 × 6371000     		dr = 414.306129999429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.82537332) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678282696967638 × 6371000     		do = 414.329989301072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.82530829) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.678330479645687 × 6371000     		du = 414.359177420676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82537332)-sin(0.82530829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678282696967638-0.678330479645687)×R²
    abs(-0.03058374--0.03067962)×4.77826780487245e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77826780487245e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77826780487245e-05×40589641000000     		ar = 171665.500879105m²