Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32448 / 22724
↖ ↑ ↗
← N 48.210032°
W  1.757813°		 ← 407.07 m → N 48.210032°
W  1.752319°		 →
↑
407.04 m
↓
↑
407.04 m
↓
N 48.206371°
W  1.757813°		 ← 407.10 m →
165 702 m²		 N 48.206371°
W  1.752319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495124816894531 y=0.346748352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495124816894531 × 216)
    floor (0.495124816894531 × 65536)
    floor (32448.5)     		tx = 32448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346748352050781 × 216)
    floor (0.346748352050781 × 65536)
    floor (22724.5)     		ty = 22724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32448 / 22724 ti = "16/32448/22724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32448/22724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32448 ÷ 216
    32448 ÷ 65536     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22724 ÷ 216
    22724 ÷ 65536     		y = 0.34674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34674072265625 × 2 - 1) × π
    0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962956439567688))-π/2
    2×atan(2.61942922128445)-π/2
    2×1.20611005990181-π/2
    2.41222011980362-1.57079632675     		φ = 0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32448 KachelY 22724 -0.03067962 0.84142379 -1.757813 48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 32449 KachelY 22724 -0.03058374 0.84142379 -1.752319 48.210032
    Unten links KachelX 32448 KachelY + 1 22725 -0.03067962 0.84135990 -1.757813 48.206371
    Unten rechts KachelX + 1 32449 KachelY + 1 22725 -0.03058374 0.84135990 -1.752319 48.206371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84142379-0.84135990) × R
    6.38899999999554e-05 × 6371000     		dl = 407.043189999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84142379-0.84135990) × R
    6.38899999999554e-05 × 6371000     		dr = 407.043189999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.84142379) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 407.072607804681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(0.84135990) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.666449568795822 × 6371000     		du = 407.101705444288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84142379)-sin(0.84135990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666449568795822)×R²
    abs(-0.03058374--0.03067962)×4.76345569420111e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76345569420111e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76345569420111e-05×40589641000000     		ar = 165702.054896412m²