Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32445 / 22727
↖ ↑ ↗
← N 48.199049°
W  1.774292°		 ← 407.16 m → N 48.199049°
W  1.768799°		 →
↑
407.17 m
↓
↑
407.17 m
↓
N 48.195387°
W  1.774292°		 ← 407.19 m →
165 789 m²		 N 48.195387°
W  1.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495079040527344 y=0.346794128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495079040527344 × 216)
    floor (0.495079040527344 × 65536)
    floor (32445.5)     		tx = 32445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346794128417969 × 216)
    floor (0.346794128417969 × 65536)
    floor (22727.5)     		ty = 22727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32445 / 22727 ti = "16/32445/22727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32445/22727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32445 ÷ 216
    32445 ÷ 65536     		x = 0.495071411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22727 ÷ 216
    22727 ÷ 65536     		y = 0.346786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495071411132812 × 2 - 1) × π
    -0.009857177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03096724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346786499023438 × 2 - 1) × π
    0.306427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.962668818169968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03096724} λ = -0.03096724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962668818169968))-π/2
    2×atan(2.61867592572775)-π/2
    2×1.20601421389819-π/2
    2.41202842779639-1.57079632675     		φ = 0.84123210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03096724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.774292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84123210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.199049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32445 KachelY 22727 -0.03096724 0.84123210 -1.774292 48.199049
    Oben rechts KachelX + 1 32446 KachelY 22727 -0.03087136 0.84123210 -1.768799 48.199049
    Unten links KachelX 32445 KachelY + 1 22728 -0.03096724 0.84116819 -1.774292 48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 32446 KachelY + 1 22728 -0.03087136 0.84116819 -1.768799 48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84123210-0.84116819) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dl = 407.170610000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84123210-0.84116819) × R
    6.39100000000559e-05 × 6371000     		dr = 407.170610000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03096724--0.03087136) × cos(0.84123210) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.666544844657605 × 6371000     		do = 407.159904845466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03096724--0.03087136) × cos(0.84116819) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 407.189006605759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84123210)-sin(0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666544844657605-0.666592485960353)×R²
    abs(-0.03087136--0.03096724)×4.7641302748147e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7641302748147e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7641302748147e-05×40589641000000     		ar = 165789.471571155m²