Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32443 / 22568
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
W  1.785278°		 ← 402.50 m → N 48.777913°
W  1.779785°		 →
↑
402.52 m
↓
↑
402.52 m
↓
N 48.774293°
W  1.785278°		 ← 402.53 m →
162 019 m²		 N 48.774293°
W  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495048522949219 y=0.344367980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495048522949219 × 216)
    floor (0.495048522949219 × 65536)
    floor (32443.5)     		tx = 32443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344367980957031 × 216)
    floor (0.344367980957031 × 65536)
    floor (22568.5)     		ty = 22568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32443 / 22568 ti = "16/32443/22568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32443/22568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32443 ÷ 216
    32443 ÷ 65536     		x = 0.495040893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22568 ÷ 216
    22568 ÷ 65536     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495040893554688 × 2 - 1) × π
    -0.009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03115898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03115898} λ = -0.03115898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03115898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.785278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32443 KachelY 22568 -0.03115898 0.85133518 -1.785278 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 32444 KachelY 22568 -0.03106311 0.85133518 -1.779785 48.777913
    Unten links KachelX 32443 KachelY + 1 22569 -0.03115898 0.85127200 -1.785278 48.774293
    Unten rechts KachelX + 1 32444 KachelY + 1 22569 -0.03106311 0.85127200 -1.779785 48.774293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85127200) × R
    6.31799999999405e-05 × 6371000     		dl = 402.519779999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85127200) × R
    6.31799999999405e-05 × 6371000     		dr = 402.519779999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03115898--0.03106311) × cos(0.85133518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 402.496596885522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03115898--0.03106311) × cos(0.85127200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		du = 402.52562165008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85127200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.659026983546329)×R²
    abs(-0.03106311--0.03115898)×4.75202123935148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75202123935148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75202123935148e-05×40589641000000     		ar = 162018.683203868m²