Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32438 / 22714
↖ ↑ ↗
← N 48.246626°
W  1.812744°		 ← 406.74 m → N 48.246626°
W  1.807251°		 →
↑
406.79 m
↓
↑
406.79 m
↓
N 48.242967°
W  1.812744°		 ← 406.77 m →
165 463 m²		 N 48.242967°
W  1.807251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494972229003906 y=0.346595764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494972229003906 × 216)
    floor (0.494972229003906 × 65536)
    floor (32438.5)     		tx = 32438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346595764160156 × 216)
    floor (0.346595764160156 × 65536)
    floor (22714.5)     		ty = 22714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32438 / 22714 ti = "16/32438/22714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32438/22714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32438 ÷ 216
    32438 ÷ 65536     		x = 0.494964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22714 ÷ 216
    22714 ÷ 65536     		y = 0.346588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.01007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03163835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346588134765625 × 2 - 1) × π
    0.30682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.963915177560089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03163835} λ = -0.03163835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963915177560089))-π/2
    2×atan(2.62194177184368)-π/2
    2×1.20642939815573-π/2
    2.41285879631146-1.57079632675     		φ = 0.84206247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03163835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84206247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.246626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32438 KachelY 22714 -0.03163835 0.84206247 -1.812744 48.246626
    Oben rechts KachelX + 1 32439 KachelY 22714 -0.03154248 0.84206247 -1.807251 48.246626
    Unten links KachelX 32438 KachelY + 1 22715 -0.03163835 0.84199862 -1.812744 48.242967
    Unten rechts KachelX + 1 32439 KachelY + 1 22715 -0.03154248 0.84199862 -1.807251 48.242967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84206247-0.84199862) × R
    6.38499999999764e-05 × 6371000     		dl = 406.78834999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84206247-0.84199862) × R
    6.38499999999764e-05 × 6371000     		dr = 406.78834999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03163835--0.03154248) × cos(0.84206247) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.66592560321415 × 6371000     		do = 406.739214173096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03163835--0.03154248) × cos(0.84199862) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.665973235116029 × 6371000     		du = 406.768307156226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84206247)-sin(0.84199862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66592560321415-0.665973235116029)×R²
    abs(-0.03154248--0.03163835)×4.76319018793969e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.76319018793969e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.76319018793969e-05×40589641000000     		ar = 165462.691213177m²