Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32420 / 23012
↖ ↑ ↗
← N 47.144898°
W  1.911621°		 ← 415.43 m → N 47.144898°
W  1.906128°		 →
↑
415.45 m
↓
↑
415.45 m
↓
N 47.141161°
W  1.911621°		 ← 415.45 m →
172 596 m²		 N 47.141161°
W  1.906128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494697570800781 y=0.351142883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494697570800781 × 216)
    floor (0.494697570800781 × 65536)
    floor (32420.5)     		tx = 32420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351142883300781 × 216)
    floor (0.351142883300781 × 65536)
    floor (23012.5)     		ty = 23012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32420 / 23012 ti = "16/32420/23012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32420/23012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32420 ÷ 216
    32420 ÷ 65536     		x = 0.49468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23012 ÷ 216
    23012 ÷ 65536     		y = 0.35113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03336408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35113525390625 × 2 - 1) × π
    0.2977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.935344785386536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03336408} λ = -0.03336408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935344785386536))-π/2
    2×atan(2.54809185113552)-π/2
    2×1.19681500670741-π/2
    2.39363001341483-1.57079632675     		φ = 0.82283369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03336408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.911621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82283369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.144898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32420 KachelY 23012 -0.03336408 0.82283369 -1.911621 47.144898
    Oben rechts KachelX + 1 32421 KachelY 23012 -0.03326821 0.82283369 -1.906128 47.144898
    Unten links KachelX 32420 KachelY + 1 23013 -0.03336408 0.82276848 -1.911621 47.141161
    Unten rechts KachelX + 1 32421 KachelY + 1 23013 -0.03326821 0.82276848 -1.906128 47.141161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82283369-0.82276848) × R
    6.52099999999267e-05 × 6371000     		dl = 415.452909999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82283369-0.82276848) × R
    6.52099999999267e-05 × 6371000     		dr = 415.452909999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03336408--0.03326821) × cos(0.82283369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680146630386361 × 6371000     		do = 415.425243646691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03336408--0.03326821) × cos(0.82276848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		du = 415.454440796094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82283369)-sin(0.82276848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680146630386361-0.680194432832378)×R²
    abs(-0.03326821--0.03336408)×4.78024460173199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78024460173199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78024460173199e-05×40589641000000     		ar = 172595.691441863m²