Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32416 / 23200
↖ ↑ ↗
← N 46.437857°
W  1.933594°		 ← 420.96 m → N 46.437857°
W  1.928100°		 →
↑
420.93 m
↓
↑
420.93 m
↓
N 46.434071°
W  1.933594°		 ← 420.99 m →
177 203 m²		 N 46.434071°
W  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494636535644531 y=0.354011535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494636535644531 × 216)
    floor (0.494636535644531 × 65536)
    floor (32416.5)     		tx = 32416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354011535644531 × 216)
    floor (0.354011535644531 × 65536)
    floor (23200.5)     		ty = 23200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32416 / 23200 ti = "16/32416/23200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32416/23200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32416 ÷ 216
    32416 ÷ 65536     		x = 0.49462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23200 ÷ 216
    23200 ÷ 65536     		y = 0.35400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35400390625 × 2 - 1) × π
    0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03374758} λ = -0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.917320511129395))-π/2
    2×atan(2.50257577414987)-π/2
    2×1.19064491358248-π/2
    2.38128982716495-1.57079632675     		φ = 0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32416 KachelY 23200 -0.03374758 0.81049350 -1.933594 46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 32417 KachelY 23200 -0.03365170 0.81049350 -1.928100 46.437857
    Unten links KachelX 32416 KachelY + 1 23201 -0.03374758 0.81042743 -1.933594 46.434071
    Unten rechts KachelX + 1 32417 KachelY + 1 23201 -0.03365170 0.81042743 -1.928100 46.434071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81049350-0.81042743) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dl = 420.931970000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81049350-0.81042743) × R
    6.60700000000292e-05 × 6371000     		dr = 420.931970000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03374758--0.03365170) × cos(0.81049350) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 420.962746808512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03374758--0.03365170) × cos(0.81042743) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.689188787909791 × 6371000     		du = 420.9919910941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81049350)-sin(0.81042743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.689188787909791)×R²
    abs(-0.03365170--0.03374758)×4.78746250854867e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78746250854867e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78746250854867e-05×40589641000000     		ar = 177202.833303004m²