Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32402 / 22926
↖ ↑ ↗
← N 47.465236°
W  2.010498°		 ← 412.92 m → N 47.465236°
W  2.005005°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
N 47.461523°
W  2.010498°		 ← 412.94 m →
170 501 m²		 N 47.461523°
W  2.005005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494422912597656 y=0.349830627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494422912597656 × 216)
    floor (0.494422912597656 × 65536)
    floor (32402.5)     		tx = 32402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349830627441406 × 216)
    floor (0.349830627441406 × 65536)
    floor (22926.5)     		ty = 22926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32402 / 22926 ti = "16/32402/22926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32402/22926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32402 ÷ 216
    32402 ÷ 65536     		x = 0.494415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22926 ÷ 216
    22926 ÷ 65536     		y = 0.349822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.01116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03508981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349822998046875 × 2 - 1) × π
    0.30035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.943589932121185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03508981} λ = -0.03508981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943589932121185))-π/2
    2×atan(2.5691880936346)-π/2
    2×1.19961048956452-π/2
    2.39922097912904-1.57079632675     		φ = 0.82842465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03508981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82842465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.465236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32402 KachelY 22926 -0.03508981 0.82842465 -2.010498 47.465236
    Oben rechts KachelX + 1 32403 KachelY 22926 -0.03499394 0.82842465 -2.005005 47.465236
    Unten links KachelX 32402 KachelY + 1 22927 -0.03508981 0.82835984 -2.010498 47.461523
    Unten rechts KachelX + 1 32403 KachelY + 1 22927 -0.03499394 0.82835984 -2.005005 47.461523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82842465-0.82835984) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82842465-0.82835984) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03508981--0.03499394) × cos(0.82842465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676037422347176 × 6371000     		do = 412.915389631971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03508981--0.03499394) × cos(0.82835984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		du = 412.944557770937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82842465)-sin(0.82835984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676037422347176-0.676085177296438)×R²
    abs(-0.03499394--0.03508981)×4.77549492619023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77549492619023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77549492619023e-05×40589641000000     		ar = 170500.648515304m²