Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32396 / 24426
↖ ↑ ↗
← N 41.599013°
W  2.043457°		 ← 456.75 m → N 41.599013°
W  2.037964°		 →
↑
456.74 m
↓
↑
456.74 m
↓
N 41.594905°
W  2.043457°		 ← 456.78 m →
208 623 m²		 N 41.594905°
W  2.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494331359863281 y=0.372718811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494331359863281 × 216)
    floor (0.494331359863281 × 65536)
    floor (32396.5)     		tx = 32396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372718811035156 × 216)
    floor (0.372718811035156 × 65536)
    floor (24426.5)     		ty = 24426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32396 / 24426 ti = "16/32396/24426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32396/24426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32396 ÷ 216
    32396 ÷ 65536     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24426 ÷ 216
    24426 ÷ 65536     		y = 0.372711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372711181640625 × 2 - 1) × π
    0.25457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799779233261017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799779233261017))-π/2
    2×atan(2.22504965730937)-π/2
    2×1.14841803508235-π/2
    2.29683607016469-1.57079632675     		φ = 0.72603974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72603974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.599013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32396 KachelY 24426 -0.03566505 0.72603974 -2.043457 41.599013
    Oben rechts KachelX + 1 32397 KachelY 24426 -0.03556918 0.72603974 -2.037964 41.599013
    Unten links KachelX 32396 KachelY + 1 24427 -0.03566505 0.72596805 -2.043457 41.594905
    Unten rechts KachelX + 1 32397 KachelY + 1 24427 -0.03556918 0.72596805 -2.037964 41.594905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72603974-0.72596805) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dl = 456.736990000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72603974-0.72596805) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dr = 456.736990000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03556918) × cos(0.72603974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747809529059158 × 6371000     		do = 456.752914638783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03556918) × cos(0.72596805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747857123083997 × 6371000     		du = 456.78198448708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72603974)-sin(0.72596805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747809529059158-0.747857123083997)×R²
    abs(-0.03556918--0.03566505)×4.75940248387818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75940248387818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75940248387818e-05×40589641000000     		ar = 208622.590132805m²