Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32396 / 22924
↖ ↑ ↗
← N 47.472663°
W  2.043457°		 ← 412.86 m → N 47.472663°
W  2.037964°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
N 47.468949°
W  2.043457°		 ← 412.89 m →
170 477 m²		 N 47.468949°
W  2.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494331359863281 y=0.349800109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494331359863281 × 216)
    floor (0.494331359863281 × 65536)
    floor (32396.5)     		tx = 32396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349800109863281 × 216)
    floor (0.349800109863281 × 65536)
    floor (22924.5)     		ty = 22924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32396 / 22924 ti = "16/32396/22924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32396/22924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32396 ÷ 216
    32396 ÷ 65536     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22924 ÷ 216
    22924 ÷ 65536     		y = 0.34979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34979248046875 × 2 - 1) × π
    0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943781679719666))-π/2
    2×atan(2.56968077651547)-π/2
    2×1.19967529926161-π/2
    2.39935059852322-1.57079632675     		φ = 0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32396 KachelY 22924 -0.03566505 0.82855427 -2.043457 47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 32397 KachelY 22924 -0.03556918 0.82855427 -2.037964 47.472663
    Unten links KachelX 32396 KachelY + 1 22925 -0.03566505 0.82848946 -2.043457 47.468949
    Unten rechts KachelX + 1 32397 KachelY + 1 22925 -0.03556918 0.82848946 -2.037964 47.468949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82855427-0.82848946) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82855427-0.82848946) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03556918) × cos(0.82855427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 412.857048151011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03556918) × cos(0.82848946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.67598966455833 × 6371000     		du = 412.886219758621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82855427)-sin(0.82848946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.67598966455833)×R²
    abs(-0.03556918--0.03566505)×4.77606282300869e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77606282300869e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77606282300869e-05×40589641000000     		ar = 170476.559770488m²