Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32395 / 24424
↖ ↑ ↗
← N 41.607228°
W  2.048950°		 ← 456.74 m → N 41.607228°
W  2.043457°		 →
↑
456.67 m
↓
↑
456.67 m
↓
N 41.603121°
W  2.048950°		 ← 456.77 m →
208 589 m²		 N 41.603121°
W  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494316101074219 y=0.372688293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494316101074219 × 216)
    floor (0.494316101074219 × 65536)
    floor (32395.5)     		tx = 32395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372688293457031 × 216)
    floor (0.372688293457031 × 65536)
    floor (24424.5)     		ty = 24424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32395 / 24424 ti = "16/32395/24424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32395/24424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32395 ÷ 216
    32395 ÷ 65536     		x = 0.494308471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24424 ÷ 216
    24424 ÷ 65536     		y = 0.3726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.011383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03576093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    0.254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799970980859497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03576093} λ = -0.03576093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799970980859497))-π/2
    2×atan(2.22547634614464)-π/2
    2×1.1484897258592-π/2
    2.29697945171839-1.57079632675     		φ = 0.72618312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03576093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.048950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72618312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.607228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32395 KachelY 24424 -0.03576093 0.72618312 -2.048950 41.607228
    Oben rechts KachelX + 1 32396 KachelY 24424 -0.03566505 0.72618312 -2.043457 41.607228
    Unten links KachelX 32395 KachelY + 1 24425 -0.03576093 0.72611144 -2.048950 41.603121
    Unten rechts KachelX + 1 32396 KachelY + 1 24425 -0.03566505 0.72611144 -2.043457 41.603121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72618312-0.72611144) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dl = 456.67327999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72618312-0.72611144) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dr = 456.67327999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03576093--0.03566505) × cos(0.72618312) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.747714329479723 × 6371000     		do = 456.742404779927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03576093--0.03566505) × cos(0.72611144) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		du = 456.771478299851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72618312)-sin(0.72611144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747714329479723-0.747761924551316)×R²
    abs(-0.03566505--0.03576093)×4.75950715930207e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.75950715930207e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.75950715930207e-05×40589641000000     		ar = 208588.690745073m²