Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32393 / 24423
↖ ↑ ↗
← N 41.611335°
W  2.059936°		 ← 456.67 m → N 41.611335°
W  2.054443°		 →
↑
456.74 m
↓
↑
456.74 m
↓
N 41.607228°
W  2.059936°		 ← 456.69 m →
208 583 m²		 N 41.607228°
W  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494285583496094 y=0.372673034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494285583496094 × 216)
    floor (0.494285583496094 × 65536)
    floor (32393.5)     		tx = 32393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372673034667969 × 216)
    floor (0.372673034667969 × 65536)
    floor (24423.5)     		ty = 24423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32393 / 24423 ti = "16/32393/24423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32393/24423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32393 ÷ 216
    32393 ÷ 65536     		x = 0.494277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24423 ÷ 216
    24423 ÷ 65536     		y = 0.372665405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.011444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03595267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372665405273438 × 2 - 1) × π
    0.254669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.800066854658737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03595267} λ = -0.03595267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800066854658737))-π/2
    2×atan(2.22568972124544)-π/2
    2×1.14852556782486-π/2
    2.29705113564973-1.57079632675     		φ = 0.72625481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03595267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.059936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72625481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.611335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32393 KachelY 24423 -0.03595267 0.72625481 -2.059936 41.611335
    Oben rechts KachelX + 1 32394 KachelY 24423 -0.03585680 0.72625481 -2.054443 41.611335
    Unten links KachelX 32393 KachelY + 1 24424 -0.03595267 0.72618312 -2.059936 41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 32394 KachelY + 1 24424 -0.03585680 0.72618312 -2.054443 41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72625481-0.72618312) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dl = 456.736990000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72625481-0.72618312) × R
    7.16900000000686e-05 × 6371000     		dr = 456.736990000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(0.72625481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747666723925615 × 6371000     		do = 456.665691009722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(0.72618312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 456.694767899955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72625481)-sin(0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747666723925615-0.747714329479723)×R²
    abs(-0.03585680--0.03595267)×4.76055541075437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76055541075437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76055541075437e-05×40589641000000     		ar = 208582.753483015m²