Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32393 / 22513
↖ ↑ ↗
← N 48.976612°
W  2.059936°		 ← 400.90 m → N 48.976612°
W  2.054443°		 →
↑
400.93 m
↓
↑
400.93 m
↓
N 48.973006°
W  2.059936°		 ← 400.93 m →
160 738 m²		 N 48.973006°
W  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494285583496094 y=0.343528747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494285583496094 × 216)
    floor (0.494285583496094 × 65536)
    floor (32393.5)     		tx = 32393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343528747558594 × 216)
    floor (0.343528747558594 × 65536)
    floor (22513.5)     		ty = 22513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32393 / 22513 ti = "16/32393/22513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32393/22513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32393 ÷ 216
    32393 ÷ 65536     		x = 0.494277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22513 ÷ 216
    22513 ÷ 65536     		y = 0.343521118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.011444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03595267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343521118164062 × 2 - 1) × π
    0.312957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.983185811207352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03595267} λ = -0.03595267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983185811207352))-π/2
    2×atan(2.6729582321635)-π/2
    2×1.21279972769275-π/2
    2.4255994553855-1.57079632675     		φ = 0.85480313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03595267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.059936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85480313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.976612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32393 KachelY 22513 -0.03595267 0.85480313 -2.059936 48.976612
    Oben rechts KachelX + 1 32394 KachelY 22513 -0.03585680 0.85480313 -2.054443 48.976612
    Unten links KachelX 32393 KachelY + 1 22514 -0.03595267 0.85474020 -2.059936 48.973006
    Unten rechts KachelX + 1 32394 KachelY + 1 22514 -0.03585680 0.85474020 -2.054443 48.973006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85480313-0.85474020) × R
    6.29300000000166e-05 × 6371000     		dl = 400.927030000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85480313-0.85474020) × R
    6.29300000000166e-05 × 6371000     		dr = 400.927030000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(0.85480313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		do = 400.900966402853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(0.85474020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		du = 400.929963990305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85480313)-sin(0.85474020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656367049397308-0.656414525114531)×R²
    abs(-0.03585680--0.03595267)×4.74757172232998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74757172232998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74757172232998e-05×40589641000000     		ar = 160737.846795425m²