Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32392 / 24392
↖ ↑ ↗
← N 41.738529°
W  2.065430°		 ← 455.81 m → N 41.738529°
W  2.059936°		 →
↑
455.85 m
↓
↑
455.85 m
↓
N 41.734429°
W  2.065430°		 ← 455.84 m →
207 786 m²		 N 41.734429°
W  2.059936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494270324707031 y=0.372200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494270324707031 × 216)
    floor (0.494270324707031 × 65536)
    floor (32392.5)     		tx = 32392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372200012207031 × 216)
    floor (0.372200012207031 × 65536)
    floor (24392.5)     		ty = 24392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32392 / 24392 ti = "16/32392/24392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32392/24392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32392 ÷ 216
    32392 ÷ 65536     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24392 ÷ 216
    24392 ÷ 65536     		y = 0.3721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.803038942435181))-π/2
    2×atan(2.23231450630489)-π/2
    2×1.14963553675274-π/2
    2.29927107350548-1.57079632675     		φ = 0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32392 KachelY 24392 -0.03604855 0.72847475 -2.065430 41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 32393 KachelY 24392 -0.03595267 0.72847475 -2.059936 41.738529
    Unten links KachelX 32392 KachelY + 1 24393 -0.03604855 0.72840320 -2.065430 41.734429
    Unten rechts KachelX + 1 32393 KachelY + 1 24393 -0.03595267 0.72840320 -2.059936 41.734429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72847475-0.72840320) × R
    7.15499999999203e-05 × 6371000     		dl = 455.845049999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72847475-0.72840320) × R
    7.15499999999203e-05 × 6371000     		dr = 455.845049999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03595267) × cos(0.72847475) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 455.811680066892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03595267) × cos(0.72840320) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746238309313965 × 6371000     		du = 455.840775677131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72847475)-sin(0.72840320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746238309313965)×R²
    abs(-0.03595267--0.03604855)×4.76312347461594e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76312347461594e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76312347461594e-05×40589641000000     		ar = 207786.129723819m²