Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32388 / 22916
↖ ↑ ↗
← N 47.502359°
W  2.087402°		 ← 412.62 m → N 47.502359°
W  2.081909°		 →
↑
412.65 m
↓
↑
412.65 m
↓
N 47.498648°
W  2.087402°		 ← 412.65 m →
170 275 m²		 N 47.498648°
W  2.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494209289550781 y=0.349678039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494209289550781 × 216)
    floor (0.494209289550781 × 65536)
    floor (32388.5)     		tx = 32388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349678039550781 × 216)
    floor (0.349678039550781 × 65536)
    floor (22916.5)     		ty = 22916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32388 / 22916 ti = "16/32388/22916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32388/22916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32388 ÷ 216
    32388 ÷ 65536     		x = 0.49420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22916 ÷ 216
    22916 ÷ 65536     		y = 0.34967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34967041015625 × 2 - 1) × π
    0.3006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.944548670113586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03643204} λ = -0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944548670113586))-π/2
    2×atan(2.57165245301831)-π/2
    2×1.19993444647636-π/2
    2.39986889295271-1.57079632675     		φ = 0.82907257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82907257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.502359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32388 KachelY 22916 -0.03643204 0.82907257 -2.087402 47.502359
    Oben rechts KachelX + 1 32389 KachelY 22916 -0.03633617 0.82907257 -2.081909 47.502359
    Unten links KachelX 32388 KachelY + 1 22917 -0.03643204 0.82900780 -2.087402 47.498648
    Unten rechts KachelX + 1 32389 KachelY + 1 22917 -0.03633617 0.82900780 -2.081909 47.498648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82907257-0.82900780) × R
    6.47700000000473e-05 × 6371000     		dl = 412.649670000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82907257-0.82900780) × R
    6.47700000000473e-05 × 6371000     		dr = 412.649670000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03643204--0.03633617) × cos(0.82907257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675559849425457 × 6371000     		do = 412.623693932102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03643204--0.03633617) × cos(0.82900780) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675607603263198 × 6371000     		du = 412.652861392164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82907257)-sin(0.82900780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675559849425457-0.675607603263198)×R²
    abs(-0.03633617--0.03643204)×4.77538377408049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77538377408049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77538377408049e-05×40589641000000     		ar = 170275.049166499m²