Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32386 / 22444
↖ ↑ ↗
← N 49.224773°
W  2.098389°		 ← 398.90 m → N 49.224773°
W  2.092896°		 →
↑
398.95 m
↓
↑
398.95 m
↓
N 49.221185°
W  2.098389°		 ← 398.93 m →
159 148 m²		 N 49.221185°
W  2.092896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494178771972656 y=0.342475891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494178771972656 × 216)
    floor (0.494178771972656 × 65536)
    floor (32386.5)     		tx = 32386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342475891113281 × 216)
    floor (0.342475891113281 × 65536)
    floor (22444.5)     		ty = 22444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32386 / 22444 ti = "16/32386/22444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32386/22444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32386 ÷ 216
    32386 ÷ 65536     		x = 0.494171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22444 ÷ 216
    22444 ÷ 65536     		y = 0.34246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.01165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03662379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    0.3150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989801103354919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03662379} λ = -0.03662379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989801103354919))-π/2
    2×atan(2.69069924807051)-π/2
    2×1.21496534216754-π/2
    2.42993068433508-1.57079632675     		φ = 0.85913436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03662379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85913436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.224773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32386 KachelY 22444 -0.03662379 0.85913436 -2.098389 49.224773
    Oben rechts KachelX + 1 32387 KachelY 22444 -0.03652792 0.85913436 -2.092896 49.224773
    Unten links KachelX 32386 KachelY + 1 22445 -0.03662379 0.85907174 -2.098389 49.221185
    Unten rechts KachelX + 1 32387 KachelY + 1 22445 -0.03652792 0.85907174 -2.092896 49.221185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85913436-0.85907174) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dl = 398.952020000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85913436-0.85907174) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dr = 398.952020000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03662379--0.03652792) × cos(0.85913436) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.653093242471947 × 6371000     		do = 398.90136517153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03662379--0.03652792) × cos(0.85907174) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.653140661908682 × 6371000     		du = 398.930328383548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85913436)-sin(0.85907174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653093242471947-0.653140661908682)×R²
    abs(-0.03652792--0.03662379)×4.7419436734808e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.7419436734808e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.7419436734808e-05×40589641000000     		ar = 159148.282934094m²