Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32386 / 21378
↖ ↑ ↗
← N 52.902276°
W  2.098389°		 ← 368.41 m → N 52.902276°
W  2.092896°		 →
↑
368.50 m
↓
↑
368.50 m
↓
N 52.898962°
W  2.098389°		 ← 368.44 m →
135 765 m²		 N 52.898962°
W  2.092896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494178771972656 y=0.326210021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494178771972656 × 216)
    floor (0.494178771972656 × 65536)
    floor (32386.5)     		tx = 32386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326210021972656 × 216)
    floor (0.326210021972656 × 65536)
    floor (21378.5)     		ty = 21378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32386 / 21378 ti = "16/32386/21378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32386/21378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32386 ÷ 216
    32386 ÷ 65536     		x = 0.494171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21378 ÷ 216
    21378 ÷ 65536     		y = 0.326202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.01165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03662379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326202392578125 × 2 - 1) × π
    0.34759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09200257334488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03662379} λ = -0.03662379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09200257334488))-π/2
    2×atan(2.98023624238982)-π/2
    2×1.24705761118038-π/2
    2.49411522236076-1.57079632675     		φ = 0.92331890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03662379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92331890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.902276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32386 KachelY 21378 -0.03662379 0.92331890 -2.098389 52.902276
    Oben rechts KachelX + 1 32387 KachelY 21378 -0.03652792 0.92331890 -2.092896 52.902276
    Unten links KachelX 32386 KachelY + 1 21379 -0.03662379 0.92326106 -2.098389 52.898962
    Unten rechts KachelX + 1 32387 KachelY + 1 21379 -0.03652792 0.92326106 -2.092896 52.898962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92331890-0.92326106) × R
    5.78400000000867e-05 × 6371000     		dl = 368.498640000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92331890-0.92326106) × R
    5.78400000000867e-05 × 6371000     		dr = 368.498640000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03662379--0.03652792) × cos(0.92331890) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.603176302693427 × 6371000     		do = 368.412708838982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03662379--0.03652792) × cos(0.92326106) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.603222435324867 × 6371000     		du = 368.440886086063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92331890)-sin(0.92326106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603176302693427-0.603222435324867)×R²
    abs(-0.03652792--0.03662379)×4.61326314400434e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.61326314400434e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.61326314400434e-05×40589641000000     		ar = 135764.773842147m²