Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32382 / 22914
↖ ↑ ↗
← N 47.509780°
W  2.120362°		 ← 412.61 m → N 47.509780°
W  2.114868°		 →
↑
412.59 m
↓
↑
412.59 m
↓
N 47.506070°
W  2.120362°		 ← 412.64 m →
170 242 m²		 N 47.506070°
W  2.114868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494117736816406 y=0.349647521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494117736816406 × 216)
    floor (0.494117736816406 × 65536)
    floor (32382.5)     		tx = 32382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349647521972656 × 216)
    floor (0.349647521972656 × 65536)
    floor (22914.5)     		ty = 22914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32382 / 22914 ti = "16/32382/22914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32382/22914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32382 ÷ 216
    32382 ÷ 65536     		x = 0.494110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22914 ÷ 216
    22914 ÷ 65536     		y = 0.349639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.01177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03700729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349639892578125 × 2 - 1) × π
    0.30072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944740417712067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03700729} λ = -0.03700729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944740417712067))-π/2
    2×atan(2.57214560847948)-π/2
    2×1.19999921038767-π/2
    2.39999842077534-1.57079632675     		φ = 0.82920209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03700729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.120362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82920209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.509780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32382 KachelY 22914 -0.03700729 0.82920209 -2.120362 47.509780
    Oben rechts KachelX + 1 32383 KachelY 22914 -0.03691141 0.82920209 -2.114868 47.509780
    Unten links KachelX 32382 KachelY + 1 22915 -0.03700729 0.82913733 -2.120362 47.506070
    Unten rechts KachelX + 1 32383 KachelY + 1 22915 -0.03691141 0.82913733 -2.114868 47.506070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82920209-0.82913733) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dl = 412.585959999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82920209-0.82913733) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dr = 412.585959999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03700729--0.03691141) × cos(0.82920209) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.675464347995798 × 6371000     		do = 412.608396660466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03700729--0.03691141) × cos(0.82913733) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.675512100127128 × 6371000     		du = 412.637566120563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82920209)-sin(0.82913733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675464347995798-0.675512100127128)×R²
    abs(-0.03691141--0.03700729)×4.77521313302365e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77521313302365e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77521313302365e-05×40589641000000     		ar = 170242.44895464m²