Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32379 / 24447
↖ ↑ ↗
← N 41.512691°
W  2.136841°		 ← 457.41 m → N 41.512691°
W  2.131347°		 →
↑
457.44 m
↓
↑
457.44 m
↓
N 41.508577°
W  2.136841°		 ← 457.44 m →
209 244 m²		 N 41.508577°
W  2.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494071960449219 y=0.373039245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494071960449219 × 216)
    floor (0.494071960449219 × 65536)
    floor (32379.5)     		tx = 32379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373039245605469 × 216)
    floor (0.373039245605469 × 65536)
    floor (24447.5)     		ty = 24447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32379 / 24447 ti = "16/32379/24447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32379/24447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32379 ÷ 216
    32379 ÷ 65536     		x = 0.494064331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24447 ÷ 216
    24447 ÷ 65536     		y = 0.373031616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494064331054688 × 2 - 1) × π
    -0.011871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03729491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373031616210938 × 2 - 1) × π
    0.253936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.797765883476975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03729491} λ = -0.03729491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797765883476975))-π/2
    2×atan(2.22057436074278)-π/2
    2×1.14766473093757-π/2
    2.29532946187515-1.57079632675     		φ = 0.72453314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03729491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72453314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.512691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32379 KachelY 24447 -0.03729491 0.72453314 -2.136841 41.512691
    Oben rechts KachelX + 1 32380 KachelY 24447 -0.03719903 0.72453314 -2.131347 41.512691
    Unten links KachelX 32379 KachelY + 1 24448 -0.03729491 0.72446134 -2.136841 41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 32380 KachelY + 1 24448 -0.03719903 0.72446134 -2.131347 41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72453314-0.72446134) × R
    7.18000000000663e-05 × 6371000     		dl = 457.437800000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72453314-0.72446134) × R
    7.18000000000663e-05 × 6371000     		dr = 457.437800000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03729491--0.03719903) × cos(0.72453314) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.748808931796866 × 6371000     		do = 457.411044225333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03729491--0.03719903) × cos(0.72446134) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 457.440112264517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72453314)-sin(0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748808931796866-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.03719903--0.03729491)×4.75860992987798e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75860992987798e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75860992987798e-05×40589641000000     		ar = 209243.750266165m²