Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32374 / 24406
↖ ↑ ↗
← N 41.681118°
W  2.164307°		 ← 456.22 m → N 41.681118°
W  2.158813°		 →
↑
456.23 m
↓
↑
456.23 m
↓
N 41.677015°
W  2.164307°		 ← 456.25 m →
208 146 m²		 N 41.677015°
W  2.158813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493995666503906 y=0.372413635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493995666503906 × 216)
    floor (0.493995666503906 × 65536)
    floor (32374.5)     		tx = 32374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372413635253906 × 216)
    floor (0.372413635253906 × 65536)
    floor (24406.5)     		ty = 24406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32374 / 24406 ti = "16/32374/24406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32374/24406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32374 ÷ 216
    32374 ÷ 65536     		x = 0.493988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24406 ÷ 216
    24406 ÷ 65536     		y = 0.372406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.01202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03777428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372406005859375 × 2 - 1) × π
    0.25518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801696709245819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03777428} λ = -0.03777428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801696709245819))-π/2
    2×atan(2.22932022964373)-π/2
    2×1.14913453208067-π/2
    2.29826906416134-1.57079632675     		φ = 0.72747274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03777428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.164307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72747274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.681118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32374 KachelY 24406 -0.03777428 0.72747274 -2.164307 41.681118
    Oben rechts KachelX + 1 32375 KachelY 24406 -0.03767840 0.72747274 -2.158813 41.681118
    Unten links KachelX 32374 KachelY + 1 24407 -0.03777428 0.72740113 -2.164307 41.677015
    Unten rechts KachelX + 1 32375 KachelY + 1 24407 -0.03767840 0.72740113 -2.158813 41.677015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72747274-0.72740113) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dl = 456.227309999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72747274-0.72740113) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dr = 456.227309999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03777428--0.03767840) × cos(0.72747274) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746857373775311 × 6371000     		do = 456.21893211956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03777428--0.03767840) × cos(0.72740113) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		du = 456.248019405715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72747274)-sin(0.72740113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746857373775311-0.746904991383039)×R²
    abs(-0.03767840--0.03777428)×4.76176077273127e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76176077273127e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76176077273127e-05×40589641000000     		ar = 208146.171468323m²