Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32374 / 22538
↖ ↑ ↗
← N 48.886392°
W  2.164307°		 ← 401.67 m → N 48.886392°
W  2.158813°		 →
↑
401.69 m
↓
↑
401.69 m
↓
N 48.882780°
W  2.164307°		 ← 401.70 m →
161 352 m²		 N 48.882780°
W  2.158813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493995666503906 y=0.343910217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493995666503906 × 216)
    floor (0.493995666503906 × 65536)
    floor (32374.5)     		tx = 32374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343910217285156 × 216)
    floor (0.343910217285156 × 65536)
    floor (22538.5)     		ty = 22538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32374 / 22538 ti = "16/32374/22538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32374/22538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32374 ÷ 216
    32374 ÷ 65536     		x = 0.493988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22538 ÷ 216
    22538 ÷ 65536     		y = 0.343902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.01202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03777428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343902587890625 × 2 - 1) × π
    0.31219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980788966226349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03777428} λ = -0.03777428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980788966226349))-π/2
    2×atan(2.666559237403)-π/2
    2×1.21201241135278-π/2
    2.42402482270555-1.57079632675     		φ = 0.85322850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03777428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.164307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85322850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.886392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32374 KachelY 22538 -0.03777428 0.85322850 -2.164307 48.886392
    Oben rechts KachelX + 1 32375 KachelY 22538 -0.03767840 0.85322850 -2.158813 48.886392
    Unten links KachelX 32374 KachelY + 1 22539 -0.03777428 0.85316545 -2.164307 48.882780
    Unten rechts KachelX + 1 32375 KachelY + 1 22539 -0.03767840 0.85316545 -2.158813 48.882780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85322850-0.85316545) × R
    6.30499999999534e-05 × 6371000     		dl = 401.691549999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85322850-0.85316545) × R
    6.30499999999534e-05 × 6371000     		dr = 401.691549999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03777428--0.03767840) × cos(0.85322850) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.657554201741365 × 6371000     		do = 401.66795731393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03777428--0.03767840) × cos(0.85316545) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.657601702760932 × 6371000     		du = 401.696973382033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85322850)-sin(0.85316545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657554201741365-0.657601702760932)×R²
    abs(-0.03767840--0.03777428)×4.75010195661874e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75010195661874e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75010195661874e-05×40589641000000     		ar = 161352.452166828m²