Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32372 / 22932
↖ ↑ ↗
← N 47.442950°
W  2.175293°		 ← 413.09 m → N 47.442950°
W  2.169800°		 →
↑
413.10 m
↓
↑
413.10 m
↓
N 47.439235°
W  2.175293°		 ← 413.12 m →
170 652 m²		 N 47.439235°
W  2.169800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493965148925781 y=0.349922180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493965148925781 × 216)
    floor (0.493965148925781 × 65536)
    floor (32372.5)     		tx = 32372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349922180175781 × 216)
    floor (0.349922180175781 × 65536)
    floor (22932.5)     		ty = 22932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32372 / 22932 ti = "16/32372/22932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32372/22932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32372 ÷ 216
    32372 ÷ 65536     		x = 0.49395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22932 ÷ 216
    22932 ÷ 65536     		y = 0.34991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03796602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34991455078125 × 2 - 1) × π
    0.3001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943014689325745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03796602} λ = -0.03796602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943014689325745))-π/2
    2×atan(2.56771061168977)-π/2
    2×1.19941600552579-π/2
    2.39883201105158-1.57079632675     		φ = 0.82803568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03796602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82803568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.442950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32372 KachelY 22932 -0.03796602 0.82803568 -2.175293 47.442950
    Oben rechts KachelX + 1 32373 KachelY 22932 -0.03787015 0.82803568 -2.169800 47.442950
    Unten links KachelX 32372 KachelY + 1 22933 -0.03796602 0.82797084 -2.175293 47.439235
    Unten rechts KachelX + 1 32373 KachelY + 1 22933 -0.03787015 0.82797084 -2.169800 47.439235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82803568-0.82797084) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dl = 413.09564000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82803568-0.82797084) × R
    6.4840000000066e-05 × 6371000     		dr = 413.09564000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03796602--0.03787015) × cos(0.82803568) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.676323990468436 × 6371000     		do = 413.090421935738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03796602--0.03787015) × cos(0.82797084) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.676371750467971 × 6371000     		du = 413.119593159349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82803568)-sin(0.82797084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676323990468436-0.676371750467971)×R²
    abs(-0.03787015--0.03796602)×4.77599995348799e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.77599995348799e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.77599995348799e-05×40589641000000     		ar = 170651.877540034m²