Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32369 / 21815
↖ ↑ ↗
← N 51.430039°
W  2.191773°		 ← 380.85 m → N 51.430039°
W  2.186279°		 →
↑
380.79 m
↓
↑
380.79 m
↓
N 51.426615°
W  2.191773°		 ← 380.88 m →
145 030 m²		 N 51.426615°
W  2.186279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493919372558594 y=0.332878112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493919372558594 × 216)
    floor (0.493919372558594 × 65536)
    floor (32369.5)     		tx = 32369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332878112792969 × 216)
    floor (0.332878112792969 × 65536)
    floor (21815.5)     		ty = 21815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32369 / 21815 ti = "16/32369/21815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32369/21815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32369 ÷ 216
    32369 ÷ 65536     		x = 0.493911743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21815 ÷ 216
    21815 ÷ 65536     		y = 0.332870483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493911743164062 × 2 - 1) × π
    -0.012176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03825365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332870483398438 × 2 - 1) × π
    0.334259033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05010572307695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03825365} λ = -0.03825365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05010572307695))-π/2
    2×atan(2.85795325370329)-π/2
    2×1.23420992477993-π/2
    2.46841984955985-1.57079632675     		φ = 0.89762352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03825365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.191773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89762352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.430039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32369 KachelY 21815 -0.03825365 0.89762352 -2.191773 51.430039
    Oben rechts KachelX + 1 32370 KachelY 21815 -0.03815777 0.89762352 -2.186279 51.430039
    Unten links KachelX 32369 KachelY + 1 21816 -0.03825365 0.89756375 -2.191773 51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 32370 KachelY + 1 21816 -0.03815777 0.89756375 -2.186279 51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89762352-0.89756375) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dl = 380.794670000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89762352-0.89756375) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dr = 380.794670000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03825365--0.03815777) × cos(0.89762352) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.623469771933436 × 6371000     		do = 380.8474329208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03825365--0.03815777) × cos(0.89756375) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 380.875977954704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89762352)-sin(0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623469771933436-0.623516501842158)×R²
    abs(-0.03815777--0.03825365)×4.67299087221207e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.67299087221207e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.67299087221207e-05×40589641000000     		ar = 145030.107481188m²