Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32367 / 23983
↖ ↑ ↗
← N 43.393074°
W  2.202759°		 ← 443.83 m → N 43.393074°
W  2.197266°		 →
↑
443.87 m
↓
↑
443.87 m
↓
N 43.389082°
W  2.202759°		 ← 443.86 m →
197 010 m²		 N 43.389082°
W  2.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493888854980469 y=0.365959167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493888854980469 × 216)
    floor (0.493888854980469 × 65536)
    floor (32367.5)     		tx = 32367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365959167480469 × 216)
    floor (0.365959167480469 × 65536)
    floor (23983.5)     		ty = 23983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32367 / 23983 ti = "16/32367/23983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32367/23983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32367 ÷ 216
    32367 ÷ 65536     		x = 0.493881225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23983 ÷ 216
    23983 ÷ 65536     		y = 0.365951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493881225585938 × 2 - 1) × π
    -0.012237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03844539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365951538085938 × 2 - 1) × π
    0.268096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.842251326324387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03844539} λ = -0.03844539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842251326324387))-π/2
    2×atan(2.32158774935912)-π/2
    2×1.1640741678819-π/2
    2.3281483357638-1.57079632675     		φ = 0.75735201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03844539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.202759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75735201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.393074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32367 KachelY 23983 -0.03844539 0.75735201 -2.202759 43.393074
    Oben rechts KachelX + 1 32368 KachelY 23983 -0.03834952 0.75735201 -2.197266 43.393074
    Unten links KachelX 32367 KachelY + 1 23984 -0.03844539 0.75728234 -2.202759 43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 32368 KachelY + 1 23984 -0.03834952 0.75728234 -2.197266 43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75735201-0.75728234) × R
    6.96699999999106e-05 × 6371000     		dl = 443.867569999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75735201-0.75728234) × R
    6.96699999999106e-05 × 6371000     		dr = 443.867569999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03844539--0.03834952) × cos(0.75735201) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.726657724486858 × 6371000     		do = 443.833651092625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03844539--0.03834952) × cos(0.75728234) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 443.862884313709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75735201)-sin(0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726657724486858-0.72670558599051)×R²
    abs(-0.03834952--0.03844539)×4.78615036515473e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.78615036515473e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.78615036515473e-05×40589641000000     		ar = 197009.852113593m²