Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32361 / 22496
↖ ↑ ↗
← N 49.037868°
W  2.235718°		 ← 400.45 m → N 49.037868°
W  2.230224°		 →
↑
400.42 m
↓
↑
400.42 m
↓
N 49.034267°
W  2.235718°		 ← 400.48 m →
160 353 m²		 N 49.034267°
W  2.230224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493797302246094 y=0.343269348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493797302246094 × 216)
    floor (0.493797302246094 × 65536)
    floor (32361.5)     		tx = 32361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343269348144531 × 216)
    floor (0.343269348144531 × 65536)
    floor (22496.5)     		ty = 22496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32361 / 22496 ti = "16/32361/22496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32361/22496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32361 ÷ 216
    32361 ÷ 65536     		x = 0.493789672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22496 ÷ 216
    22496 ÷ 65536     		y = 0.34326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493789672851562 × 2 - 1) × π
    -0.012420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03902064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03902064} λ = -0.03902064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984815665794434))-π/2
    2×atan(2.6773183175867)-π/2
    2×1.21333429029029-π/2
    2.42666858058058-1.57079632675     		φ = 0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03902064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.235718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32361 KachelY 22496 -0.03902064 0.85587225 -2.235718 49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 32362 KachelY 22496 -0.03892476 0.85587225 -2.230224 49.037868
    Unten links KachelX 32361 KachelY + 1 22497 -0.03902064 0.85580940 -2.235718 49.034267
    Unten rechts KachelX + 1 32362 KachelY + 1 22497 -0.03892476 0.85580940 -2.230224 49.034267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85587225-0.85580940) × R
    6.28499999999477e-05 × 6371000     		dl = 400.417349999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85587225-0.85580940) × R
    6.28499999999477e-05 × 6371000     		dr = 400.417349999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03902064--0.03892476) × cos(0.85587225) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 400.449848584006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03902064--0.03892476) × cos(0.85580940) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.655607545152301 × 6371000     		du = 400.478839255448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85587225)-sin(0.85580940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655607545152301)×R²
    abs(-0.03892476--0.03902064)×4.74594437285258e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.74594437285258e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.74594437285258e-05×40589641000000     		ar = 160352.871414474m²