Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32358 / 22577
↖ ↑ ↗
← N 48.745323°
W  2.252197°		 ← 402.80 m → N 48.745323°
W  2.246704°		 →
↑
402.84 m
↓
↑
402.84 m
↓
N 48.741701°
W  2.252197°		 ← 402.83 m →
162 269 m²		 N 48.741701°
W  2.246704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493751525878906 y=0.344505310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493751525878906 × 216)
    floor (0.493751525878906 × 65536)
    floor (32358.5)     		tx = 32358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344505310058594 × 216)
    floor (0.344505310058594 × 65536)
    floor (22577.5)     		ty = 22577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32358 / 22577 ti = "16/32358/22577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32358/22577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32358 ÷ 216
    32358 ÷ 65536     		x = 0.493743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22577 ÷ 216
    22577 ÷ 65536     		y = 0.344497680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03930826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344497680664062 × 2 - 1) × π
    0.311004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977049888055984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03930826} λ = -0.03930826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977049888055984))-π/2
    2×atan(2.65660738094755)-π/2
    2×1.21078135615036-π/2
    2.42156271230071-1.57079632675     		φ = 0.85076639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03930826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.252197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85076639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.745323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32358 KachelY 22577 -0.03930826 0.85076639 -2.252197 48.745323
    Oben rechts KachelX + 1 32359 KachelY 22577 -0.03921238 0.85076639 -2.246704 48.745323
    Unten links KachelX 32358 KachelY + 1 22578 -0.03930826 0.85070316 -2.252197 48.741701
    Unten rechts KachelX + 1 32359 KachelY + 1 22578 -0.03921238 0.85070316 -2.246704 48.741701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85076639-0.85070316) × R
    6.32299999999697e-05 × 6371000     		dl = 402.838329999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85076639-0.85070316) × R
    6.32299999999697e-05 × 6371000     		dr = 402.838329999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03930826--0.03921238) × cos(0.85076639) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.659407178329911 × 6371000     		do = 402.799850805448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03930826--0.03921238) × cos(0.85070316) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.659454712439794 × 6371000     		du = 402.828887086821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85076639)-sin(0.85070316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659407178329911-0.659454712439794)×R²
    abs(-0.03921238--0.03930826)×4.75341098832294e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.75341098832294e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.75341098832294e-05×40589641000000     		ar = 162269.067740081m²